Logseq

Cards

Basis (LADR 2.26)
Complex numbers $\mathbf{C}$ (LADR 1.1)
Complexification $V_\mathbf{C}$ (Ex 1.B.8)
$\mathbf{F}^n$ and coordinates (LADR 1.11)
Dimension $\dim V$ (LADR 2.34, 2.35)
Direct sum $\oplus$ (LADR 1.41)
Finite-dimensional / infinite-dimensional vector space (LADR 2.9, 2.13)
The function space $\mathbf{F}^S$ (LADR 1.24, 1.25)
Intersection of subspaces (Ex 1.C.10/11)
Kernel of a linear functional (technique, Ex 1.C.4)
Linear combination (LADR 2.2)
Linearly dependent (LADR 2.17)
Linearly independent (LADR 2.15)
List, length (LADR 1.8)
Addition and scalar multiplication in $\mathbf{F}^n$ (LADR 1.13, 1.18)
Polynomial spaces $\mathcal{P}(\mathbf{F})$, $\deg p$, $\mathcal{P}_m(\mathbf{F})$ (LADR 2.10–2.12)
Unique additive identity (LADR 1.26)
Unique additive inverse (LADR 1.27)
The number 0 times a vector (LADR 1.30)
A number times the vector 0 (LADR 1.31)
The number −1 times a vector (LADR 1.32)
Conditions for a subspace (LADR 1.34)
Sum is the smallest containing subspace (LADR 1.40)
Condition for a direct sum (LADR 1.45)
Direct sum of two subspaces (LADR 1.46)
Linear dependence lemma (LADR 2.19)
Length of linearly independent list ≤ length of spanning list (LADR 2.22)
Subspaces of finite-dimensional spaces (LADR 2.25)
Criterion for basis (LADR 2.28)
Every spanning list contains a basis (LADR 2.30, 2.31)
Every linearly independent list extends to a basis (LADR 2.32)
Every subspace is part of a direct sum (LADR 2.33)
Dimension of a subspace (LADR 2.37)
Linearly independent list of the right length is a basis (LADR 2.38)
Subspace of full dimension equals the whole space (LADR 2.39)
Spanning list of the right length is a basis (LADR 2.42)
Dimension of a sum (LADR 2.43)
Span is the smallest containing subspace (LADR 2.6)
The field $\mathbf{F}$ and scalars (LADR 1.6)
The sequence space $\mathbf{F}^\infty$ (LADR 1.23)
Span (LADR 2.4, 2.7)
Subspace (LADR 1.33)
Sum of subspaces (LADR 1.36)
Vector space (LADR 1.20)
$\xi$-accumulation point（Definition IX.3.8）／📐 Proposition IX.3.9
Remark VIII.1.7 ／ Example VIII.1.8（$\mathcal{A}^{\cap}$ の adherence は縮む）
📐 (VIII.1.10)–(VIII.1.12)（始収束・終収束の adherence 公式）
📐 Proposition VIII.1.5・VIII.1.9 / Corollary VIII.1.6（前位相・有限安定収束での交叉公式）
Proposition VI.2.4 (adherence の基本4性質)
集合の adherence $\operatorname{adh}_\xi A$ (VI.1)
$f$ の upper adjoint map $f^$ と lower adjoint map $f_$（(XXIV.2.1)・(XXIV.2.2)）
📐 Almost disjoint topology $\zeta_{\mathcal{A}}$（構成と、Prop XII.8.6・XII.8.7・Cor XII.8.8）
Almost Equal (ほぼ等しい) (Definition II.5.6)
$\alpha(\xi,\sigma)$：$p(\xi,\sigma)$・$k(\xi,\sigma)$ を統一する一般構成（(XXIV.5.4)、Proposition XXIV.5.7）
Antisymmetric
📐 Theorem X.4.15（Baire category theorem）／Corollary X.4.16
開集合・閉集合の base（Definition IX.2.1・IX.2.2、Proposition IX.2.6・IX.2.7）
Bisequence pretopology (Example VI.1.8)
境界 $\partial_\xi A$（Definition IX.1.8）と clopen 集合（Definition IX.1.10）
Bounds and Extrema
Bourdaud pretopology $\mathbb{U}$ (Example VI.7.1)
$C(\xi,\sigma)$：連続写像の空間、超収束との関係
Canonical Surjection
📐 Exercise IX.5.11（Cantor 条件：可算コンパクトの減少閉集合列による特徴づけ）
Cantor Cube (カントール立方体) (Example IV.6.8)
📐 Theorem X.10.14（Cantor：可算稠密無界線形順序の一意性）／Corollary X.10.15
Cantor set（3進構成、Prop XII.5.1・Lemma XII.5.2）
📐 Theorem X.4.5（Cantor：完備性の縮小閉集合列による特徴づけ）
Cardinality Comparison
Cardinality / Equipotence
$\mathcal{R}$-Cauchy filter（Definition XV.4.1）
Fundamental（Cauchy）filter（X.4）／📐 Lemma X.4.1・Corollary X.4.2
Centered Family / Filter-Subbase (有心族・準基) (Definition II.2.3)
Chaotic Convergence (混沌収束 / 密着収束) (Example III.1.2)
Character of a Filter (指標) (Definition II.2.17)
Characteristic Convergence $\chi_\mathbb{F}$ (特性収束) (Example III.7.12)
Characteristic Function (特性関数と $2^\kappa$) (Formula I.5.4)
測度論の古典的な3つの列収束（測度収束・概一様収束・概収束） (Definition XXII.9.1)
古典的な開被覆（Definition VIII.2.8）と $\xi$-cover の関係（Cor VIII.2.7）
$\xi$-closed set (VII.1)
📐 Corollary VII.3.4・VII.3.5（位相は閉集合族/開集合族で一意に決まる）
📐 Proposition VII.1.3（閉集合族の公理）
📐 Proposition VIII.3.14（閉部分集合はコンパクト性を継承）
📐 Proposition VII.1.6（Kuratowski 閉包公理）
閉包 $\operatorname{cl}_\xi A$ (VII.1)
Cocountable Filter at $B$ (余可算フィルター) (Example II.2.24)
Cofinite Convergence (補有限収束) (Example III.1.17)
Cofinite Filter at $B$ (余有限フィルター) (Example II.2.20)
Cofinite Filter of $B$ centered at $A$ (Definition II.4.3)
Infimum / Supremum of Cofinite Filters (補有限フィルターの inf と sup) (Example II.3.1)
Cofinite Subset (余有限集合)
コンパクト収束の定義 (VIII.3)
📐 Proposition IX.3.1（コンパクト・可算コンパクト・Lindelöf の開被覆まとめ）／Corollary IX.3.2
$\xi$-compact family／openly isotone family／$\kappa(\xi)$ が位相の開集合系をなすこと（Def XX.6.1, Prop XX.6.12–6.19）
📐 Proposition VIII.3.16（Hausdorff空間ではコンパクト⟹閉）
📐 Proposition VIII.3.5・Corollary VIII.3.6（コンパクト性のイデアル特徴づけ）
Example VIII.3.15（コンパクトだが閉でない集合）
Example XII.4.3（コンパクトだが点列コンパクトでない位相：${0,1}^{[0,1]}$）
Compact-open topology $k(\xi,\sigma)$（Definition XXIV.5.4）と cocompact/upper Wijsman 超収束（Example XXIV.5.5）
Absolute property（Remark VIII.3.17・Corollary VIII.3.18）
Example XII.2.2（compactoid だが閉包は compactoid でない例）
$\xi$-compactoid（Definition XII.2.1）
距離の completeness（定義）／📐 Proposition X.4.3（4同値条件）
Complete／convergence-complete quasi-uniformity（Definition XV.4.7）
Completely metrizable topology（定義）／📐 Proposition X.4.4・X.4.9〜X.4.14
Remark I.1.3 (合成の全射性・単射性)
Composition
Conjugate preuniformity $\mathcal{R}^-$ と Example XV.1.3（実数直線 $\mathcal{V},\mathcal{V}^+,\mathcal{V}^-$、Sorgenfrey）
Consonant／dissonant 位相（Definition XX.6.20）
Continuity on $\mathbb{R}$ = $\varepsilon$–$\delta$ ($\varepsilon$–$\delta$ 連続性の回復) (Example IV.2.3)
Continuity of Distance and Norm (距離関数・ノルムの連続性) (Example IV.2.4)
📐 Proposition VIII.3.3（連続写像はコンパクト性を保つ）
Continuous Map (連続写像) (Section IV.2)
Contour（Definition XII.7.14）と Stone 位相での収束の特徴づけ（Prop XII.7.15）
Convergence Modifier $I$ (収束修正子) (Proposition III.7.9 / Lemma III.7.10)
Convergence of a Sequence (数列の収束) (Definitions (A)/(B)/(C))
Convergence / Preconvergence (収束構造 / 前収束) (Section III.1)
Coproduct / Sum of Convergences (余積・和収束) (Definition IV.8.2)
Corollary I.1.6 (グラフと逆関係)
Corollary I.5.6 (可算集合の積)
Corollary II.1.2 (部分列の収束)
Corollary II.2.12 (列型フィルターと可算集合)
Corollary III.2.4 (有限 pavement と前位相)
Corollary IV.7.10 (連続写像のグラフは定義域と同相)
📐 Corollary VII.1.8（adherence 冪等 ⟺ cl = adh）
📐 Corollary VIII.1.10（連続写像は adherence を保つ）
📐 Corollary XII.2.5・XII.2.6（Hausdorff コンパクト ⟹ 関数的正則 ⟹ Tikhonov 立方体の閉部分空間）
📐 Corollary XV.4.15（uniform 空間の完備化の存在と一意性）
📐 Corollary XX.10.9（$[\xi,$_0]$ の開集合＝ξ-openly isotone な $\xi$-compact family）
📐 Lebesgue 測度に関する測度収束の商は距離化可能な位相 (Corollary XXII.9.19)
📐 列修正した測度収束は概収束の列修正の Urysohn 修正 (Corollary XXII.9.20)
📐 概収束の可算台修正の擬位相化は測度収束より細かいとは限らない (Corollary XXII.9.25)
📐 Corollary XXIV.8.3（evenly continuous 集合上では各点収束＝natural convergence）
Correlation (相関)
Countability
Countable Character (可算指標の収束) (Definition III.2.6)
📐 Proposition X.3.8（可算積の距離化可能性）／Example X.3.9（Baire space）
Countably Based Filter (可算基をもつフィルター) (Definition II.2.16)
Countably Based, Non-Sequential Filter (可算基底だが列型でないフィルター) (Example II.2.23)
Countably Carried Filter (可算台をもつフィルター) (Definition II.2.15)
可算台収束（countably carried）と可算台修正 $\mathbb{E}$ (Example XVIII.2.2 / 式 XVIII.2.2)
📐 Proposition IX.3.10（可算コンパクト ⟺ locally finite な非空族は有限）
Countably compact（Definition VIII.3.10・Proposition VIII.3.11）
Countably complete convergence（Definition XXIII.4.1）と Čech completeness
Density and Separability (稠密性と可分性) (Definition III.1.19)
稠密関連用語（codense・nowhere dense・meager・residual）(IX.5 Supplement)
📐 Corollary IX.2.15・Proposition IX.2.16（density ≤ weight、距離化可能なら等号）
Diagonal Map (対角写像) (Definition IV.5.1)
Diagonal Product Map (対角積写像) (Definition IV.7.1)
Diagonal Sweeping Order (対角掃引順序) (Example I.3.4)
Difference
📐 Exercise X.10.9（Dini の定理）
Discrete Convergence (離散収束) (Example III.1.1)
離散化子 $\mathrm{Dis}$（Example XVII.3.13）：任意の収束を離散収束に送る coreflector
Disjoint Union
集合への距離 $d(x,A)$（X.3.4）／📐 Corollary X.3.6・Proposition X.3.7
$$$-dual convergence の2変種：upper Kuratowski $[\xi,$_0]$・Scott $[\xi,$_1]$
$\sigma$-dual（natural／continuous）convergence $[\xi,\sigma]$（Definition XXIV.1.2）
Embedding (埋め込み) (Definition IV.3.12)
Equality vs. Definition
Equicontinuous family（Definition X.2.5）とその sup/inf の連続性（Proposition X.2.6）
Equivalence Relation
📐 Proposition XII.1.9・Corollary XII.1.10（Euclid 空間の閉有界性のフィルター特徴づけ）
Euclidean Convergence (ユークリッド収束) (Definition III.6.5)
Evenly continuous（$|\xi,\sigma|$-continuous）family（Definition XXIV.8.1・Lemma XXIV.8.2）
Example VIII.4.3（$1/x$ の不連続性とグラフの閉性の非対称）
Example XV.1.18（bisequence 上で $\mathrm{T}(\lambda\mathcal{R})>\lambda(\mathrm{T}\mathcal{R})$ が真に成り立つ）
Example XV.1.5（$\mathcal{R}$ が Hausdorff でも $\mathcal{R}^-$ は Hausdorff とは限らない）
Example XV.2.2（擬距離族が誘導する uniformity $\mathcal{U}_\mathcal{D}$）と $\mathcal{R}$-uniform pseudometric
Example XV.4.10（Hausdorff quasi-uniform 空間で complete な部分空間が閉とは限らない反例）
Example XV.4.3（quasi-uniformity で近傍フィルターが $\mathcal{R}^\natural$-Cauchy とは限らない反例）
Example XV.4.8（$[0,1]$ 上の quasi-uniformity：complete だが convergence-complete でない）
フィルターの概収束 $e_\mu$ は測度論的でない（反例） (Example XXII.9.12)
$\mathbb{E}e_\mu$ は $\mathbb{E}a_\mu$ より細かいとは限らない（Fremlin の例） (Example XXII.9.24 / Remark XXII.9.26)
測度収束するが概収束しない列（「動く区間の特性関数」の例） (Example XXII.9.6)
$C(\xi,\sigma)$ は各点収束で閉とは限らない（Example XXIV.0.2）
$\xi^\circ$ は $\xi$ より細かいとは限らない（Example XXIV.4.2）
Dissonant な位相の一般判定（Lemma XXIV.7.4）と具体例：bisequence・Arens・radial topology
指数化 $\exp$ と転置 $\mathrm{tp}$：$Z^{X\times Y}\leftrightarrow(Z^X)^Y$ の標準的な相互全単射
Extended Real Line (拡張実数直線) (Example I.3.9)
📐 (VIII.1.2)–(VIII.1.4)（族 adherence の基本性質）
族の adherence $\operatorname{adh}_\xi \mathcal{A}$ (VIII.1)
族の inherence $\operatorname{inh}_\xi \mathcal{D}$ (VIII.2)
Fiber
Filter-Base (フィルター基・底) (Definition II.2.1)
Filter Complementary Set Extension ($\mathcal{F} \setminus A$)
フィルターの概収束 $\lim_{e_\mu}\mathcal{F}$ (Definition XXII.9.11)
フィルターの概一様収束 $\lim_{a_\mu}\mathcal{F}$ (Definition XXII.9.14)
フィルターの測度収束 $\lim_{m_\mu}\mathcal{F}$ と $\mu$-a.e.-Hausdorff 性 (Definition XXII.9.16)
Filter Decomposition Theorem (Theorem II.4.1)
Filter of Cofinite Preimages ($\Gamma_\varphi$)
Filter (フィルター)
Final Convergence w.r.t. a Family (写像族に関する終収束) (Section IV.8)
Final Convergence $f\xi$ (終収束) (Definition IV.3.5)
「finer subspace」順序 $\rhd$ と dual convergence の単調性（Remark XXIV.1.4・(XXIV.1.4)）
Finite and Infinite
📐 Exercise IX.5.10（コンパクト性の有限交叉性質 (FIP) による特徴づけ）
📐 Proposition VIII.3.7・Corollary VIII.3.8（コンパクト性 = 開被覆の有限部分被覆）
Finite Subsets
Finitely Stable Convergence (有限安定収束) (Definition III.1.5)
Fréchet Filter (フレシェ・フィルター) (Definition II.3.8)
Free Convergence (自由収束 / $T_1$) (Definition III.1.13)
Free Filter (自由フィルター) (Definition II.2.7)
Free Part (自由部分)
📐 Lemma X.6.3・Proposition X.6.4（関数的閉集合は可算交叉で閉じる）
Functionally closed/open sets（Definition X.6.1）
Functionally Hausdorff（X.7）
Functionally initial topology（$\nu$-initial）（X.9）／📐 Theorem X.9.5
Functionally regular（completely regular／Tikhonov）topology（Definition X.7.3）／📐 Proposition X.7.5
Functionally separated / exactly separated（Definition X.7.1）／📐 Lemma X.7.2
$G_{\aleph_0}$（$G_\delta$）・$F_{\aleph_0}$（$F_\sigma$）集合（Definition X.4.12）／📐 Proposition X.4.13
📐 Lemma X.10.4・X.10.5（開集合・$G_\delta$集合を閉部分空間に変換する埋め込み技法）
📐 Proposition IX.5.4・Corollary IX.5.5（グラフが閉であることの判定）
Graph of a Map
Grill・mesh 関係 $#$ (V.3)
📐 Proposition VIII.1.3（Hausdorff ⟹ adh=lim）／Example VIII.1.4（反例）
📐 Proposition IX.3.3・IX.3.4（Hausdorff コンパクト ⟹ 正則 ⟹ 正規）
Hausdorff Convergence (ハウスドルフ収束 / $T_2$) (Definition III.1.13)
📐 Proposition IX.1.2（Hausdorff ⟺ 対角集合が閉）／Lemma IX.1.3・Corollary IX.1.4
Example IX.1.12（Hausdorff だが正則でない位相）
Hausdorff preuniformity／📐 Proposition XV.1.4（$\bigcap R^-\circ R=\Delta$ 特徴づけ）
Example X.7.7（Hausdorff・正則だが関数的正則でない位相）
📐 Proposition VIII.3.2（Heine–Borel：区間のコンパクト性）
📐 Proposition IX.1.27（hereditarily normal の3同値条件）／Example IX.1.28
Homeomorphism (同相写像) (Definition IV.2.8)
Homogeneous Convergence (等質収束) (Definition IV.10.14)
Hypercompact 位相／point of local compactness（Supplement 定義群）
Upper/lower hyperlimit と $[\xi,$_0]$／$[\xi,$_0]^#$（(XII.9.1)-(XII.9.2)、Prop XII.9.2・XII.9.5）
Identity Relation (Diagonal)
Image and Preimage
Lemmas IV.1.1–IV.1.2 (像と逆像の随伴)
Preuniformity が誘導する pretopology $\lambda\mathcal{R}$（(XV.1.1)・(XV.1.2)）
Inherence $\operatorname{inh}_\xi A$ (VI.3)
Initial Convergence w.r.t. a Family (写像族に関する始収束) (Definition IV.4.1)
Initial Convergence $f^-\tau$ (始収束) (Definition IV.3.1)
Initial density (Definition VI.7.4)
Injectivity, Surjectivity, Bijectivity
内部 $\operatorname{int}\xi A$ と近傍 $\mathcal{N}\xi(x)$ (VII.2)
📐 Proposition VII.2.7（内部作用の5性質）
Interval Equipotent with the Line (区間と直線の対等性) (Example I.5.1)
Inverse Map
Inverse Order
Inverse Relation
Isbell topology $\kappa(\xi,\sigma)$ と Scott topology $\kappa(\xi,$_1)$（(XXIV.5.6)）
Isolated Point (孤立点) (Definition III.1.12)
Isotonization $\mathcal{A}^\uparrow$ (上方閉化・記法) (Formula II.2.1)
Kernel (核)
Lattice-Filter (束フィルター) (Remark III.7.7)
Lattice
Lemma II.1.4 (列型フィルターの包含の判定)
Lemma II.2.8 (自由フィルターの特徴づけ)
Lemma III.3.9 (自由収束と sup / inf)
Lemma IV.10.7 (像はフィルターの inf と可換)
Lemma IV.2.5 (連続写像と近傍系フィルター)
Lemma IV.4.3 (始収束の収束判定・忘れるべからず)
📐 Lemma IX.1.21（可算開被覆による正規性の十分条件）／Corollary IX.1.22
📐 Lemma VIII.1.2（フィルターの adherence は超フィルターの極限の合併）
📐 Lemma VIII.2.3（被覆の3つの同値な言い換え）
📐 Lemma VIII.4.1（free 収束での点列の adherence 公式）
📐 Lemma XII.10.1・Corollary XII.10.2（コンパクト位相で adherence の開近傍はフィルターに属す；減少閉集合列の吸収）
📐 Lemma XV.2.4・Corollary XV.2.5（距離化補題：uniformity から擬距離を作る）
📐 概一様収束 ⟹ 測度収束 (Lemma XXII.9.5)
📐 測度に関して基本的な（Cauchy な）列は概一様収束する部分列を持つ (Lemma XXII.9.7)
📐 Lemma XXIV.2.8（積の混合性質の安定性を、稠密な部分クラスへの判定に還元する）
📐 Lemma XXIV.3.1（$\exp$ は $C(\xi\times\tau,\sigma)$ と $C(\tau,[\xi,\sigma])$ の間の全単射）
📐 Lemma XXIV.5.2（$[A,O]\in\mathcal{F}\iff A\in\mathcal{F}^-(O)^\uparrow$、openly-isotone 族の場合）
Lexicographic Order (辞書式順序) (Example I.3.5)
Example IX.3.14（辞書式順序の単位正方形：コンパクトだが可分でない位相）
Lindelöf property（Definition VIII.3.12・Proposition VIII.3.13）
Linear order topology（Example IX.3.5）／📐 Theorem IX.3.6（コンパクト ⟺ 完備束）
Linear (Total) Order (線形順序・全順序) (Definition I.3.3)
局所コンパクト性の変種（Definition XII.3.7・XII.3.15付近）
Locally finite / discrete family (Definition VI.2.5)
Lower Semicontinuity of Relations (関係の下半連続性) (Definitions IV.9.1 / IV.9.3)
Lower/upper convergence $\nu_-,\nu_+$ (X.1)
📐 Exercise X.10.1（可算コンパクト空間で下半連続関数は下限を達成）
Almost disjoint（AD）／maximal almost disjoint（MAD）family（Definition XII.8.1）
Map
測度論的収束（measure-theoretic convergence）の定義と商収束 $[\xi]_\mu$ (Section XXII.9, 式 XXII.9.3)
Completion（Definition X.5.1）／📐 Theorem X.5.2（Hausdorff：完備化の存在）
Metric Convergence $t_d$ (距離による収束) (Formula III.6.4)
📐 距離の連続性を支える不等式（Lemma X.3.1・X.3.4）とその帰結
Metric (距離関数) (Section III.6)
Metrizable Convergence (距離化可能な収束) (Definition III.6.2)
Minimal and Maximal Elements
Natural Numbers
Neighborhood Filter Properties
Neighborhood of $x$ (近傍) (in $\mathbb{R}$)
📐 Proposition VII.6.4（任意のフィルターはネットの像）・subnet
Net（ネット）と収束（Definition VII.6.2）
Niemytzki plane（Example IX.1.19、Hausdorff・正則だが非正規）
Norm (ノルム) (Section III.6)
Normal topology（Definition IX.1.15・Proposition IX.1.17）
Open map・closed map（Definition IX.4.3）／📐 Proposition IX.4.4・IX.4.5
Example IX.4.6・IX.4.7（円の被覆写像：開だが閉でない／閉だが開でない）
$\xi$-open set (VII.2)
Order Isomorphism
Order on Convergences (収束の順序：finer / coarser) (Section III.3)
Order on Families of Sets (集合族の粗細) (Section IV.1)
Order-Preserving Map (順序を保つ写像) (Section I.3)
Order (包含関係による順序)
$\mathcal{P}$-fundamental filter と $\mathcal{P}$-completeness（Definition XXIII.1.1・XXIII.1.3）
Partition Tail Filter (分割の尾フィルター) (Examples II.2.18, II.5.11)
Partition
Pavement (敷石 / ペイヴメント) (Definition III.2.2)
Perfect map（本文）／📐 Proposition IX.4.10・IX.4.11・IX.4.13
Perfectly normal（Definition X.7.15）／📐 Lemma X.7.17／Theorem X.7.19（Vedenisov）
Permutation
Point-evaluation $j_X$（Definition XXIV.2.1）とその単射性（Proposition XXIV.2.2）
Point topology $\xi^\bullet$ と inverse point topology $\xi^\circ$（(XXIV.4.4)）
Pointwise Convergence (各点収束) (Definition IV.6.10)
$p(\xi,$)$ の2変種と $[A,O]$ 記法（(XXIV.5.1)–(XXIV.5.3)）
Pointwise property（Definition VII.7.4）／位相性は pointwise でない
Polyhedral Filter / Product Filter (多面体フィルター / 積フィルター) (Definition IV.6.4)
Power Set as Complete Lattice (冪集合の完備束) (Section I.3)
Preimagewise convergence $\tau^{\Uparrow\sigma}$（(XXIV.6.1)）：本節までの全ての構成を統一する枠組み
Preorder
Pretopologically/topologically Hausdorff（Definition IX.5.12）と反例2連発
Pretopologizer $S_0$ (VI.6)
Pretopology (前位相) (Definition III.1.10)
Preuniformity（Definition XV.1.1）
Prime Cocountable Convergence (素余可算収束) (Example III.4.5)
Example X.7.23・X.7.24（正規だが perfectly normal でない2例）
Prime Cofinite Convergence (素補有限収束) (Example III.4.3)
Example IX.1.18（prime cofinite 位相は正則かつ正規）
Prime Convergence (素収束) (Definition III.4.1)
📐 Proposition VII.3.14・VII.3.15（prime pretopology は位相／有限安定収束は位相の下限）
Principal Convergence (主収束) (Section III.5)
Principal Filter (主フィルター) (Definition II.2.4)
Product as Selections (積 = 選択関数の集合) (Section IV.5)
Product Convergence (積収束) (Definition IV.6.1)
Product Map (積写像) (Definition IV.5.3)
Product preuniformity（Definition XV.3.6）／📐 Proposition XV.3.7
Proposition I.1.1 (像・逆像・直積の非空同値)
Proposition I.1.2 (グラフ判定)
Proposition I.2.1 (同値関係 ↔ 全射)
Proposition I.3.8 (順序同型は extrema を保存)
Proposition I.4.1 (polar の逆順序同型)
Proposition I.4.2 (polar の随伴3条件)
Proposition I.5.3 (可算性の特徴づけ)
Proposition I.5.4 & Corollary I.5.6 (可算性の保存)
Proposition I.5.5 (有理数の可算性)
Proposition I.5.7 (実数の非可算性)
Proposition II.1.1 (収束のフィルター的特徴づけ)
Proposition II.2.10 (列型フィルターの伝統的な形)
Propositions II.2.13–14 (列型フィルターの自由性・主性)
Proposition II.2.19 (補有限フィルターの指標)
Proposition II.2.2 (フィルター基底の内在的特徴づけ)
Proposition II.2.21 (可算補有限フィルターは列型)
Proposition II.2.22 (主フィルターが列型になる条件)
Proposition II.2.6 (補有限フィルターの適切性)
Proposition II.3.10 (ウルトラフィルターの二分性)
Proposition II.3.2 (フィルターの完備束)
Proposition II.3.4 (主フィルターの inf)
Proposition II.3.5 (フィルターは主フィルターの sup)
Proposition II.3.6 (自由フィルターの inf)
Proposition II.3.7 (可算基底フィルターの列型分解)
Propositions II.5.9–10 (subcofinite フィルターの特徴づけ)
Proposition III.1.11 (前位相の特徴づけ)
Proposition III.1.14 (自由収束の核による特徴づけ)
Proposition III.1.16 (制限と分離公理)
Proposition III.1.6 (ウルトラフィルター修正の有限不安定性)
Proposition III.2.3 (pavement による前位相の特徴づけ)
Proposition III.3.2 (最細・最粗の収束)
Proposition III.3.5 (分離性は細かい方へ遺伝)
Proposition III.3.7 (収束の完備束構造)
Proposition III.4.2 (prime + 自由 ⟹ ハウスドルフ)
Proposition III.4.4 (prime 分解)
Proposition III.5.2 (有限安定な有限収束)
Proposition III.7.8 (有限安定収束と束フィルター)
Proposition IV.1.3 (フィルターの像)
Proposition IV.1.4 (フィルターの逆像)
Proposition IV.2.2 (連続写像の合成)
Proposition IV.2.6 (距離化可能なら連続性は列で決まる)
Proposition IV.3.14 ($C(\xi,\tau)$ の単調性)
Proposition IV.3.15 (連続性の随伴公式・最重要)
📐 Proposition IV.3.5（随伴公式：連続性 = 始収束 = 終収束）
Proposition IV.4.5 (始収束の普遍性)
Proposition IV.6.11 (Hausdorff は積で保存)
Proposition IV.6.12 (自由性は積で保存)
Proposition IV.7.7 / Corollary IV.7.8 (始収束 = 積への埋め込み)
📐 Proposition VII.3.10（連続性の5同値条件・近傍/閉包/内部版）
📐 Proposition VII.3.2 / Corollary VII.3.3・VII.3.6（$\lim$ の閉集合・開集合表示）
📐 Proposition VII.3.9（連続性の開集合・閉集合特徴づけ）
📐 Proposition VII.4.8（free ⟹ topologization も free）
📐 Proposition VIII.2.4（細分は被覆を保つ）
📐 Proposition VIII.3.1（部分集合のコンパクト性の判定条件）
📐 Proposition VIII.4.2（コンパクト性の任意族による特徴づけ）
📐 Proposition XII.1.11（Euclid 空間の部分集合のコンパクト性、4つの同値な言い換え）
📐 Proposition XII.2.3・Corollary XII.2.4（コンパクトかつ Hausdorff より粗い位相は一致・連続全単射は同相）
📐 Proposition XII.3.13（可算 weight の Hausdorff 空間で hemicompact ⟺ 局所コンパクト）
📐 Proposition XII.3.3・Lemma XII.3.4（countably compact ⟺ pseudocompact、normal 前提で）
📐 Proposition XII.3.9・Corollary XII.3.11（正則な局所コンパクト ⟹ 遺伝的局所コンパクト；連続写像で保存されない）
📐 Proposition XII.4.4（点列コンパクトな位相の可算積は点列コンパクト）
📐 Proposition XII.5.3・(XII.5.3)（Cantor 集合 ≅ Cantor 立方体、$\mathfrak{c}=2^{\aleph_0}$）
📐 Proposition XII.5.5（$[0,1]$ は Cantor 集合の連続像）
📐 Proposition XII.5.7・Lemma XII.5.8（コンパクト距離化可能空間は Cantor 集合の連続像）
📐 Proposition XII.7.1・XII.7.2・XII.7.5（Stone 位相は Hausdorff・0次元・コンパクト；$X$ は稠密開離散）
📐 Proposition XII.7.6（自由超フィルターの点での character は非可算）
📐 Proposition XII.8.3・XII.8.4（無限 MAD family は非可算；濃度 $\mathfrak{c}$ の MAD family が存在）
📐 Proposition XV.1.12（quasi-uniformity ⟹ $\lambda\mathcal{R}$ は位相）
📐 Proposition XV.1.14（Pervin quasi-uniformity：任意の位相は quasi-uniformizable）／Example XV.1.15
📐 Proposition XV.1.16・Corollary XV.1.17（最も細かい quasi-uniformity $\mathrm{T}\mathcal{R}$ と最細適合 quasi-uniformity）
📐 Proposition XV.1.2（free（$T_1$）pretopology の $\ker\mathcal{R}$ 特徴づけ）
📐 Proposition XV.1.6・XV.1.7（適合 preuniformity の存在と最細元）
📐 Proposition XV.2.3（$\mathcal{P}^\natural$ は quasi-uniformity $\mathcal{P}$ より細かい最も粗い uniformity）
📐 Proposition XV.2.7（uniformity が距離から誘導される ⟺ 可算基を持つ）
📐 Proposition XV.3.4（$U(\mathcal{P},\mathcal{R})\subset C(\lambda\mathcal{P},\lambda\mathcal{R})$：一様連続 ⟹ 連続）
📐 Proposition XV.3.5（コンパクト定義域上の連続写像は一様連続：Heine の一般化）
📐 Proposition XV.3.8（積 uniformity への一様連続性の普遍性）
📐 Proposition XV.4.11（真の uniformity では：$M$ が閉 ⟺ 制限 $\mathcal{R}_M$ が complete）
📐 Proposition XV.4.12（積 quasi-uniformity が complete ⟺ 各成分が complete）
📐 Proposition XV.4.2（$\mathcal{F}$ が $\mathcal{R}^\natural$-Cauchy ⟺ $\mathcal{F}\times\mathcal{F}\geq\mathcal{R}$）
📐 Proposition XV.4.4（一様連続写像は Cauchy フィルターの押し出しを保つ）
📐 Proposition XV.4.5・XV.4.6（Cauchy 性の始構造による・積での特徴づけ）
Locally symmetric（Definition XV.1.11）／📐 Proposition XV.4.9（局所対称＋ complete ⟹ convergence-complete）
📐 Proposition XV.5.1（任意の収束は適合する uniform convergence structure を持つ）
📐 Proposition XX.9.13（Hausdorff・正則・局所コンパクト ⟹ hereditarily locally compact、すなわち $K=K_{\mathrm{her}}$）
📐 測度論的収束の特徴づけ $\xi=\Phi^-(\Phi\xi)$ (Proposition XXII.9.10)
📐 概収束の可算台修正 $\mathbb{E}e_\mu$ は測度論的 (Proposition XXII.9.13)
📐 概一様収束（フィルター版）は概収束より細かい：$a_\mu\geq e_\mu$ (Proposition XXII.9.15)
📐 概一様収束（フィルター版）は測度収束より細かい：$a_\mu\geq m_\mu$ (Proposition XXII.9.17, 任意のフィルターで)
📐 測度収束 $m_\mu$ は ${e_\lambda}$ を連続にする最細の収束 (Proposition XXII.9.18)
📐 概一様収束 ⟹ 概収束 (Proposition XXII.9.2 / Remark XXII.9.3)
📐 概一様収束の可算台修正 $\mathbb{E}a_\mu$ は擬位相でない (Proposition XXII.9.21 / Remark XXII.9.22・9.23)
📐 Egorov の定理：有限測度なら概収束 ⟹ 概一様収束 (Proposition XXII.9.4)
📐 測度収束は完備である (Proposition XXII.9.8)
📐 数列的な収束関係の収束修正は sequentially founded (Proposition XXII.9.9)
📐 Proposition XXIV.1.1（$[\xi,\sigma]$ の普遍性：評価写像を連続にする最粗の収束）
📐 Proposition XXIV.1.5（dual convergence は台の下限・上限とどう可換か）
📐 Proposition XXIV.2.3（二重随伴 $f^{**}$ は point-evaluation を経由して $f$ と一致）
📐 Proposition XXIV.2.4（$f$ が連続なら upper adjoint $f^*$ も dual convergence で連続）
📐 Proposition XXIV.2.5（全射 $f$ に対する $[f\xi,\sigma]$ の $f^*$ による引き戻し表示）
📐 Proposition XXIV.2.6（$f$ が連続なら lower adjoint $f_*$ も dual convergence で連続）
📐 Proposition XXIV.2.7（始収束 $f^-\sigma$ に対する $[\theta,f^-\sigma]$ の $f_*$ による引き戻し表示）
📐 Proposition XXIV.4.1（$\xi^\bullet$ と $\xi^\circ$ は互いに補完的）
📐 Proposition XXIV.4.3（reduced filter ⟺ point topology で regular ⟺ inverse point topology で open based）
📐 Proposition XXIV.5.13・Corollary XXIV.5.14（compact-open topology を局所コンパクト化子 $K,K_{\mathrm{her}}$ で挟む）
📐 Proposition XXIV.5.3（各点収束を、前像フィルターの Scott 収束の言葉に翻訳）
📐 Proposition XXIV.5.6（compact-open topology を、前像の cocompact 超収束の言葉に翻訳）
📐 関数空間上の収束の階層 $p\leq k\leq\kappa\leq T[\cdot,\cdot]\leq[\cdot,\cdot]$（(XXIV.5.7)–(5.8)）と consonance の判定（Corollary XXIV.5.11）
📐 Proposition XXIV.5.9・Corollary XXIV.5.10（natural convergence の前像翻訳、Isbell topology はそれより粗い）
📐 Proposition XXIV.6.1（preimagewise convergence は、$C(\sigma,$)$ を通した lower adjoint の始収束の上限）
📐 Proposition XXIV.7.1（consonant ⟺ compact-open 超収束が既にその位相化と一致）
📐 Proposition XXIV.8.4（距離のある場合：$(\xi,d)$-equicontinuous ⟹ evenly continuous、compactoid なら逆も）
📐 Proposition XXIV.8.5（正則な値域上で evenly continuous な集合は自動的に連続写像だけからなる）
Proper Filter (固有フィルター)
Functionally compact（pseudocompact）位相
Pseudocover（Definition VIII.2.11）と cover の違い
Pseudometrizable convergence（Definition X.9.6）／📐 Proposition X.9.7・Corollary X.9.8
Pseudotopology（擬位相）と擬位相化子 $S$ (Definition XVIII.3.2 / Proposition XVIII.3.3)
Quasi-pseudometric・pseudometric・metric（Example XV.1.13）と誘導される quasi-uniformity
Quasi-uniformity（Definition XV.1.10）と $\ker\mathcal{R}$ の順序性
Quotient Map (商写像) (Definition IV.3.9)
Quotient Set
R-bipolar
R-polar
Radial pretopology (Example VI.1.9)
Radial topology $\lambda$ (Example VII.4.9)
Refinement 関係 $\mathcal{R} \triangleleft \mathcal{P}$ (Definition V.1.4)
📐 Proposition XVII.4.8（reflector の全体的な下からの評価を、稠密な部分クラスでの判定に還元）
Reflexive
📐 Proposition IX.3.11（正則・free・可算 weight ⟹ 正規）
Theorem X.8.5（*）：各連続関数が定数になる非自明な Hausdorff 正則位相
Regular topology・$T_3$（Definition IX.1.5・Corollary IX.1.7）
Surjective / Injective Relation (関係の全射性・単射性) (Definition I.1.5)
Relation
Restriction of a Convergence (収束の制限) (Definition III.1.15)
Restriction of a Filter (フィルターの制限)
Restriction
Proposition IV.9.4 (選択原理 / Selection Principle)
Semi-Inverse Map (半逆写像) (Definition I.1.4)
Semi-uniformity（Definition XV.1.8）／📐 Proposition XV.1.9・対称化 $\mathcal{R}^\natural$
半連続関数（X.2）と $\nu_\pm$ による特徴づけ（Proposition X.2.1・Corollary X.2.2・X.2.3）
Separated sets（Definition IX.1.23・Corollary IX.1.26）
Table X.7.1（分離公理の本書名 ↔ 伝統名の対応表）
Sequence (点列・数列)
Sequential Fan (列型扇 / シーケンシャル・ファン) (Example III.4.7)
Sequential Filter (列フィルター) (Definition II.2.9)
Example XII.4.5（点列コンパクトだがコンパクトでない位相：Σ-積）
Sequentially compact 位相（Definition XII.4.1）
Sequentially Founded Convergence（列基礎収束）と Seq 修正子 (Definition XVI.3.1 / Proposition XVI.3.6・3.8)
Sets and Elements
📐 Theorem IX.5.1（$T_0$ 位相の Sierpiński 立方体への埋め込み次元）
Example IX.1.20（Sierpiński 位相は正規だが正則でない）
Sierpiński Pretopologies (シェルピンスキー前位相) (Example III.5.3)
Sierpiński topology $$$（VII.5）
$\sigma$-Initial Convergence ($\sigma$-始収束) (Definition IV.4.7)
Uncountable Pavement of $\sigma_\mathbb{R}$ ($\sigma_\mathbb{R}$ の pavement は非可算) (Example III.2.5)
Example IX.3.13（Sorgenfrey 線: コンパクト集合は可算、非 σ-コンパクトだが Lindelöf）
Sorgenfrey Line (ゾルゲンフライ直線) (Example III.3.6)
Sorgenfrey線の開・閉集合（Example VII.2.3）
Example X.7.20・X.7.22（Sorgenfrey 線は完全正規／Sorgenfrey 平面は非正規）
Standard Convergence $\nu_\mathbb{R}$ (標準収束) (Example III.1.4)
Standard Sequential Convergence $\sigma_\mathbb{R}$ (標準列型収束) (Example III.1.3)
Stone transform と Stone topology（(XII.7.1)・(XII.7.3)）
📐 Theorem X.10.12（Stone–Weierstraß の定理）／Corollary X.10.11・X.10.13
Strict Ball (狭義球) (Definition III.6.1)
Strict Order
Subbase（Definition IX.2.4）とLemma IX.2.5（収束による判定）
Subcofinite / Almost Principal Filter (亜余有限・ほぼ主フィルター) (Definition II.5.8)
Subconvergence (部分収束 / 部分空間) (Definition IV.3.11)
Extrema in a Sublattice (部分束での極値) (Example I.3.10 / Formula I.3.1)
Subsequence (部分列)
Subset
Symmetric
$T_0$ Convergence ($T_0$ 収束) (Definition III.1.18)
手筋: 減少閉集合列の非空交叉（FIP／Cantor 条件）で存在を捕まえる (Ex IX.5.10 / IX.5.11 / X.10.1 / X.10.8 / X.10.9)
手筋: 分離する連続写像の族 → 対角写像 → 立方体への埋め込み (Cor VII.5.6 / Tikhonov 埋め込み)
手筋: 随伴（Galois 接続）で extrema を運ぶ (Ex IV.10.8 / Prop I.3.8 / Prop I.4.2)
手筋: sup による中間値定理と「中間値の個数」不変量 (Ex IV.10.9)
手筋: 距離の同値（定数倍の挟み込み） (Ex III.7.5)
手筋: mod-finite（有限を無視する）論法 (Ex II.5.7)
手筋: フィルターの押し出し／引き戻しで連続像の性質を運ぶ (Cor VIII.1.10 / 可算コンパクト・Lindelöf 保存 / Prop VIII.3.3)
手筋: 分離公理を「証拠となる開集合」に翻訳して制限・積・連続像で運ぶ (Ex VII.5.5 / Prop VII.5.4 / Sorgenfrey Ex VII.2.3)
手筋: 対角選択・証人選択 (Ex II.5.3 / II.5.4 / III.7.1 / III.7.4)
Theorem I.5.2 (帰納法原理 / Induction Principle)
Theorem I.5.8 (Cantor)
📐 Theorem VII.5.2 / Corollary VII.5.3・VII.5.6（Sierpiński 位相は位相クラスで initially dense）
📐 Theorem VIII.2.10（族 $\mathcal{A}$ の被覆であることの特徴づけ）
📐 Theorem XII.1.12（Weierstraß の最大値定理、一般化）
📐 Theorem XII.1.13（Heine の一様連続性定理）
📐 Theorem XII.10.10（weight $\kappa$ の Hausdorff コンパクト位相は $\kappa$ 次元 Cantor 立方体の閉部分空間の連続像）
📐 Theorem XII.6.3（Hewitt–Marczewski–Pondiczery の定理）
📐 Theorem XII.6.5（Hausdorff）・Proposition XII.6.6（超フィルター全体の濃度）
📐 Corollary XII.7.9・Theorem XII.7.11（Stone 変換は $\mathfrak{F}X$ と $\beta$-閉集合族の順序反転同型）
📐 Theorem XII.7.17（Stone–Čech の普遍性：$\beta X$ への連続拡張の一意存在）
📐 Theorem XII.7.19（普遍性による $\beta X$ の一意特徴づけ、逆定理）
📐 Theorem XII.7.21（$\beta X$（$X$ 可算）の無限閉部分集合は $\beta X$ のコピーを含む）
📐 Theorem XV.2.6（Weil：Hausdorff 位相が uniformizable ⟺ functionally regular）
📐 Theorem XV.3.9（Hausdorff uniform 空間は距離化可能 uniform 空間の積に一様に埋め込まれる）
📐 Theorem XV.4.13（稠密部分からの一様連続写像の拡張定理）／Corollary XV.4.14
📐 Theorem XXIV.1.3（値域が正則なら $C(\xi,\sigma)$ は dual convergence で閉）
📐 Theorem XXIV.3.2（指数法則：$[\xi\times\tau,\sigma]\approx[\tau,[\xi,\sigma]]$、$\exp$ は同相）
📐 Theorem XXIV.7.2（正則・可算完備 ⟹ consonant）と Corollary XXIV.7.3（完備距離化可能 ⟹ consonant）
📐 Theorem XXIV.8.6・XXIV.8.7（Ascoli–Arzelà の収束空間版：$[\xi,\sigma]$-compactoid ⟺ evenly continuous ＋各点で compactoid）
📐 Theorem X.7.10（Tietze 拡張定理）／Corollary X.7.13
Tikhonov cube $I^\kappa$／📐 Corollary X.9.12・Theorem X.9.13
📐 Theorem VIII.3.4（Tikhonov：積のコンパクト性）
$T_0/T_1/T_2$ を位相の言葉に翻訳する（Proposition IX.1.1）
古典的な位相空間の定義（VII.7 Supplement）
Topologically quotient map（Definition IX.4.1・Proposition IX.4.2）
📐 Corollary VII.4.2〜VII.4.4（位相の上限・下限・積は位相／完備束）
Classical (Dis)continuous Maps (古典的な不連続・連続写像) (Example IV.10.1)
Arens topology（Example VII.4.6）— $T$ が部分空間・始収束と非可換な例
Topologizer $T$ (Theorem VII.4.1)
Definition VII.3.1（位相 Topology）
📐 Lemma VII.3.7 / Corollary VII.3.8（位相の始収束・部分収束は位相）
Totally bounded metric（X.3）／📐 Proposition X.3.12・Corollary X.3.13・X.3.14
Transitive
Ultrafilter: Free or Principal (ウルトラフィルターの二択) (Remark II.4.2)
Ultrafilter Modification $M\xi$ (ウルトラフィルター修正) (Section III.1)
Ultrafilter (極大フィルター / ウルトラフィルター) (Definition II.3.9)
Uncountability
Uniform continuity（Definition X.5.4）／📐 Theorem X.5.7（稠密部分からの一様連続拡張）
Uniform continuity（Definition XV.3.1）／📐 Proposition XV.3.2（$\varepsilon$-$\delta$ 的特徴づけ）
一様収束 $\lim{}_{u\mathcal{R}}$ と $\hat{\mathcal{R}}$ の構成（XV.3 後半）
一様収束 $\lim_{u(d)}$（X.3.7）／📐 Proposition X.3.10・X.3.11
Uniform convergence structure（XV.5）
Uniform isomorphism（Definition XV.3.3）
Uniformity（Definition XV.2.1）
Union of Images
Upper semicontinuous relation（本文）／📐 Proposition IX.4.8・Corollary IX.4.9
📐 Theorem X.7.8（Urysohn の補題）
📐 Theorem X.9.14（Urysohn の距離化定理）
Urysohn 修正 $U\xi$ と Urysohn 収束 (Definition XVI.3.15 / 式 XVI.3.6)
Vicinity Filter $V_\xi(x)$ (近傍系フィルター) (Definition III.1.8)
📐 (VII.2.8)（近傍の入れ子条件）
📐 Theorem IX.2.21・Corollary IX.2.23（どの base からも濃度 $w(\xi)$ の base/部分被覆が取れる）
Weight（Definition IX.2.12）と second countable
$\xi$-cover の定義 (Definition VIII.2.1)
$\xi$-erected filter $\widehat{e_\xi}$ と $r$ のガロア接続、$\xi$-saturated hyperfilter
Zero-dimensional topology（Definition IX.2.17）／Sorgenfrey 線の weight（Example IX.2.19）

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