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局所コンパクト性の変種（Definition XII.3.7・XII.3.15付近）

  • 局所コンパクト性の変種（Definition XII.3.7・XII.3.15付近） #Card
    • locally compactoid／locally compact／hereditarily locally compact／σ-compact／hemicompact の定義と包含関係は。

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  • locally compactoid（locally compact）: 各点が compactoid（compact）な近傍を持つ。
  • hereditarily locally compact: 各点の近傍フィルターが、コンパクト集合からなるフィルター基を持つ。
  • σ-compact: 可算個のコンパクト集合の合併。
  • hemicompact: コンパクト集合の増加列 ${K_n}$ で、任意のコンパクト集合が有限段で吸収される（$K\subset K_n$）ものが存在。

包含関係: 離散位相は hereditarily locally compact。hemicompact ⟹ σ-compact（自明）。regular な locally compactoid ⟹ hereditarily locally compact（cards/topology/prop-xii-3-9-regular-locally-compactoid-hereditarily）。

反例: $\mathbb{Q}$・$\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ は locally compactoid でない（Example XII.3.8）。prime cocountable 位相は正則だが locally compactoid でない（Example XII.3.10）。