Royal Road to Topology Chapter II Exercises

Chapter II 演習ログ

状態: ⬜ 未着手 / 🟡 詰まり中 / ✅ 解決。🚩=要再訪。⭐=ゴール（測度論的確率統計）に効く問題。 II.5 Supplement の正式演習 5 問（II.5.2–II.5.5, II.5.7）を全選別。書籍に解答が併載されているため、自力で解いてから照合する（照合済み）。

II.5 Supplement

Ex II.5.2 ✅

問題. 列 $\varphi \in \mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ が $+\infty$ に発散するのは、すべての cofinite 集合 $A$ に対して $\varphi^-(A)$ が cofinite のとき、かつそのときに限ることを示せ。

解答（自然言語）. 方針: 発散の定義 $\forall n, \exists k(n): \varphi(\mathbb{N}_{k(n)}) \subset \mathbb{N}_n$ を、cofinite 集合の言葉に翻訳する（$\mathbb{N}_m := {n : n \geq m}$）。

• ($\Rightarrow$) $A$ を cofinite とすると $\mathbb{N} \setminus A$ が有限なので、ある $n$ で $\mathbb{N}n \subset A$。発散の定義から $\varphi(\mathbb{N}{k(n)}) \subset \mathbb{N}n \subset A$、すなわち $\mathbb{N}{k(n)} \subset \varphi^-(A)$。よって $\varphi^-(A)$ は cofinite。
• ($\Leftarrow$) 各 $n$ について $\mathbb{N}_n$ は cofinite なので $\varphi^-(\mathbb{N}n)$ が cofinite、ゆえにある $k(n)$ で $\mathbb{N}{k(n)} \subset \varphi^-(\mathbb{N}n)$、すなわち $\varphi(\mathbb{N}{k(n)}) \subset \mathbb{N}_n$。∎

核心. 「$+\infty$ への発散」が $\mathbb{N}$ の順序を一切使わず cofinite filter（cards/topology/frechet-filter）だけで定式化できた。ゆえにこの概念は任意の可算無限集合間の写像 $\varphi \in M^N$ に一般化される。

得た手筋. 順序ベースの収束概念をフィルター条件（逆像が filter の元）に翻訳して構造を剥がす。第II章全体（列→フィルター）の縮図。

Ex II.5.3 ⭐ ✅

問題. $\mathbb{R}$ 上で（標準収束で）$0$ に収束するすべての sequential filter の下限（infimum）は、$\mathcal{B} := {,(-2^{-n}, 2^{-n}) : n < \omega,}$ で生成されることを示せ。

解答（自然言語）. 方針: $\bigwedge S(0) = \bigcap_{\mathcal{E} \in S(0)} \mathcal{E}$（$S(0)$ は $0$ に収束する sequential filter 全体）と $\mathcal{B}^{\uparrow}$ の両包含。難しい向きは対角選択で反例列を作る。

• ($\supset$) $\mathcal{E} \in S(0)$、$\mathcal{E} \approx (x_k)_k$ とする。収束の定義から各 $n$ で尾 ${x_k : k \geq k(n)} \subset (-2^{-n}, 2^{-n})$、フィルターは上方閉なので $(-2^{-n}, 2^{-n}) \in \mathcal{E}$。よって $\mathcal{B}^{\uparrow} \subset \bigcap S(0)$。
• ($\subset$) $A \in \bigcap S(0) \setminus \mathcal{B}^{\uparrow}$ が存在したとする。$A$ はどの $(-2^{-n}, 2^{-n})$ も含まないから、各 $n$ で $$r_n \in (-2^{-n}, 2^{-n}) \setminus A$$ が選べる。構成により $(r_n)_n \to 0$ なので、その生成する sequential filter は $S(0)$ に属し、$A \in \bigcap S(0)$ よりある尾 ${r_n : n \geq m} \subset A$——$r_n \notin A$ と矛盾。∎

核心. $0$ の近傍フィルター（開区間基）＝「$0$ に収束する列すべての共通部分」。標準収束の vicinity filter が可算基を持つことの言い換えで、距離化可能性・第一可算性の原型。

得た手筋. 対角選択: $A$ が基のどの元も含まないなら、各基元から $A$ の外の点を1つずつ選んで収束列を作り矛盾させる → cards/topology/technique-witness-selection

Ex II.5.4 ✅

問題. フィルターの族 $\mathbb{F}$ に対して $\ker\bigl(\bigwedge_{\mathcal{F} \in \mathbb{F}} \mathcal{F}\bigr) = \bigcup_{\mathcal{F} \in \mathbb{F}} \ker \mathcal{F}$ を示せ。

解答（自然言語）. 方針: $\bigwedge \mathbb{F} = \bigcap \mathbb{F}$（フィルター束の下限＝共通部分）と $\ker \mathcal{F} = \bigcap \mathcal{F}$ を展開。難しい向きは各フィルターから証人集合を選んで和をとる。

• ($\supset$) $x \in \ker \mathcal{F}_0$（ある $\mathcal{F}_0 \in \mathbb{F}$）とする。$D \in \bigwedge \mathbb{F}$ なら $D \in \mathcal{F}_0$ なので $x \in D$。よって $x \in \ker(\bigwedge \mathbb{F})$。
• ($\subset$) 対偶を示す。$x \notin \bigcup_{\mathcal{F}} \ker \mathcal{F}$ とすると、各 $\mathcal{F} \in \mathbb{F}$ に $x \notin F_{\mathcal{F}}$ なる $F_{\mathcal{F}} \in \mathcal{F}$ が選べる。$U := \bigcup_{\mathcal{F} \in \mathbb{F}} F_{\mathcal{F}}$ とおくと、各 $\mathcal{F}$ は $F_{\mathcal{F}} \subset U$ と上方閉性から $U \in \mathcal{F}$、すなわち $U \in \bigwedge \mathbb{F}$。一方 $x \notin U$。よって $x \notin \ker(\bigwedge \mathbb{F})$。∎

得た手筋. 下限フィルターの元を作るには「各フィルターから1つずつ選んだ元の和集合」をとる——witness selection の集合版 → cards/topology/technique-witness-selection。カード cards/topology/kernel 参照。

Ex II.5.5 ⭐ ✅

問題. $X$ を非可算集合、$\mathcal{G}$ を可算基フィルターとする。$(X)_1 \supset \mathcal{G}$（$(X)_1$ は cocountable filter）ならば $\ker \mathcal{G} \in (X)_1$ を示せ。

解答（自然言語）. 方針: 各基元が cocountable であることを出し、「可算個の cocountable 集合の共通部分は cocountable」（可算和の可算性の双対）に帰着。

1. $\mathcal{G} \approx {G_n : n < \omega}$（可算基）とする。$(X)_1 \supset \mathcal{G}$ より各 $G_n \in \mathcal{G} \subset (X)_1$、すなわち $G_n$ は cocountable（$X \setminus G_n$ 可算）。
2. $\ker \mathcal{G} = \bigcap_{n<\omega} G_n$（基で交わりが決まる）。補集合をとると $$X \setminus \ker \mathcal{G} = \bigcup_{n<\omega} (X \setminus G_n)$$ は可算集合の可算和なので Prop I.5.4（cards/topology/prop-i-5-4）より可算。
3. よって $\ker \mathcal{G}$ は cocountable、すなわち $\ker \mathcal{G} \in (X)_1$。∎

核心. 「余可算集合は可算交叉で閉じる」。測度論・確率論の「確率 1 の事象は可算個の共通部分をとっても確率 1」（$\sigma$-加法性による a.s. 議論）の集合論的原型。第IV章 Example IV.10.11（$\pi \to \nu_{\mathbb{R}}$ 連続写像は cocountable 集合上定数）でそのまま使われる。

得た手筋. 可算基に落としてから濃度計算（可算和は可算）。「可算基フィルター」という仮定が効く典型場面。

Ex II.5.7 ✅

問題. $B, D$ を $X$ の無限部分集合とする。$(B)_0 = (D)_0$（cofinite filter の一致）は $B \triangle D$ が有限のとき、かつそのときに限ることを示せ。

解答（自然言語）. 方針: 片側包含の特徴づけ $$(B)_0 \leq (D)_0 \iff \mathrm{card}(D \setminus B) < \infty$$ を示せば、両側から $B \triangle D = (B \setminus D) \cup (D \setminus B)$ 有限と同値になる（$(B)_0 = {F : B \setminus F \text{ 有限}}$、cards/topology/cofinite-filter-at-b）。

• ($\Leftarrow$) $D_B := D \setminus B$ が有限とする。$F \in (B)_0$、すなわち $B_F := B \setminus F$ 有限とすると、 $$D \subset B \cup D_B \subset F \cup B_F \cup D_B$$ なので $D \setminus F \subset B_F \cup D_B$ は有限、すなわち $F \in (D)_0$。よって $(B)_0 \subset (D)_0$。
• ($\Rightarrow$) $D \setminus B$ が無限なら、$B$ 自身が $B \in (B)_0$（$B \setminus B = \emptyset$）だが $D \setminus B$ 無限より $B \notin (D)_0$。よって $(B)_0 \not\subset (D)_0$。

以上より $(B)_0 = (D)_0 \iff D \setminus B$ と $B \setminus D$ がともに有限 $\iff B \triangle D$ 有限。∎

核心. cofinite filter は台集合の有限修正で不変——「almost equal（cards/topology/almost-equal）な集合は同じ cofinite filter を生む」。

得た手筋. mod-finite（有限を無視する）論法。測度論の「零集合修正で不変（a.e. 同値類）」「$L^p$ の元は関数の同値類」の組合せ論的原型 → cards/topology/technique-mod-finite