Skip to content
Journals Garden

Linear Algebra Done Right (4e) Chapter 2

Chapter 2. Finite-Dimensional Vector Spaces

Section titled “Chapter 2. Finite-Dimensional Vector Spaces”

線形結合 → span → 線形独立 → 基底 → 次元、という有限次元論の背骨を一気に構築する章。 主役は線形従属補題（2.19）で、「独立リスト ≤ 生成リスト」（2.22）を経由して基底の長さの不変性（2.34）＝次元の well-definedness に到達する。 確率統計への接続: 有限次元部分空間の基底・次元は、回帰（計画行列の列空間）・主成分分析・条件付き期待値の有限次元近似の言語。 カード索引: linear-algebra-done-right-Flashcards

2.A Span and Linear Independence

Section titled “2.A Span and Linear Independence”

リストの線形結合全体が span。span が全体に一致するとき「生成する」と言い、有限リストで生成される空間が有限次元。 $\mathcal{P}(\mathbf{F})$（多項式全体）は無限次元の代表例（どのリストも最高次数 $m$ を持ち、$z^{m+1}$ が span から漏れる）。 線形独立＝「$0$ の表現が自明なものだけ」＝「span 内の各元の表現が一意」。 線形従属補題（2.19）: 従属リストでは、ある $v_k$ が前のベクトルたちの span に入り、しかもその $v_k$ を除いても span は変わらない。 これを使うと独立リストの長さ ≤ 生成リストの長さ（2.22、u を1つ足すごとに w を1つ抜く交換論法）、および有限次元空間の部分空間は有限次元（2.25）が出る。

2.B Bases

Section titled “2.B Bases”

基底＝線形独立かつ生成するリスト。基底であること ⟺ 各 $v\in V$ が一意に $a_1v_1+\cdots+a_nv_n$ と書ける（2.28）。 生成リストは削って基底にでき（2.30）、よって有限次元空間は基底を持つ（2.31）。独立リストは足して基底に拡張できる（2.32）。 拡張定理の応用として、任意の部分空間 $U$ に対し $V=U\oplus W$ なる補空間 $W$ が存在（2.33）—後の直交補空間・射影の代数的前段。

2.C Dimension

Section titled “2.C Dimension”

任意の2つの基底は同じ長さ（2.34、2.22 を両向きに適用）なので次元 $\dim V$＝基底の長さ、が well-defined。 $\dim\mathbf{F}^n=n$、$\dim\mathcal{P}_m(\mathbf{F})=m+1$。部分空間は $\dim U\le\dim V$（2.37）、等号なら $U=V$（2.39）。 長さが $\dim V$ のリストは片方の性質だけ確認すればよい: 独立なら基底（2.38）、生成するなら基底（2.42）。 和の次元公式（2.43）: $\dim(V_1+V_2)=\dim V_1+\dim V_2-\dim(V_1\cap V_2)$—有限集合の包除原理の類似（直和 ⟺ 次元が加法的）。

まとめ

Section titled “まとめ”
  • 背骨: 線形従属補題 2.19 → 「独立 ≤ 生成」2.22 → 基底の長さ不変 2.34 → 次元。
  • 基底の存在（2.31）と拡張（2.32）から補空間の存在（2.33）。「削って基底・足して基底」の双対。
  • 次元は「サイズ」の線形代数版: 包除原理型の和公式 2.43、フルサイズなら全体に一致 2.39。
  • ゴール接続: 2.33 の $V=U\oplus W$ は第6章で直交補空間 $V=U\oplus U^\perp$ に精密化され、射影＝条件付き期待値の幾何へ。