Royal Road to Topology Chapter IX Exercises

Chapter IX 演習ログ

状態: ⬜ 未着手 / 🟡 詰まり中 / ✅ 解決。🚩=要再訪。⭐=ゴール（測度論的確率統計）に効く問題。 IX.5 Supplement の正式演習6問（IX.5.6–IX.5.11）のうち、コンパクト性・正規性の開閉集合的特徴づけに集中する5問を選別（IX.5.7「コンパクトHausdorff部分集合は閉」は第VIII章 cards/topology/compact-hausdorff-implies-closed と重複するため除外）。全問、書籍に解答が併載されている。解答は Phase G-2（issue #13）で完了（2026-07-04、全5問 ✅、🚩 なし）。

IX.5. Supplement

Ex IX.5.6 ⭐ ✅

問題. $\tau$ が正則位相、$R$ が $x_0$ で upper semicontinuous、かつ $Rx_0$ が $\tau$-閉ならば、$R$ は $x_0$ で graph-closed であることを示せ。カード: cards/topology/graph-closed

解答（自然言語）. 方針: graph-closed の否定「$(x_0,y)\in\operatorname{adh}(\operatorname{gr}R)$ だが $y\notin Rx_0$」を仮定し、正則性で $y$ を守る閉近傍を作り、usc でその近傍が $R$ の像から切り離せることを示して矛盾を出す。$x_0\in\lim_\xi\mathcal{F}$ とし、$y\notin Rx_0$ とする。

• 正則性で閉近傍を確保. $Rx_0$ は $\tau$-閉で $y\notin Rx_0$ だから $Y\setminus Rx_0\in\mathcal{O}_\tau(y)$。$\tau$ 正則より（cards/topology/regular-topology：各点で閉近傍の基）$y$ の $\tau$-閉近傍 $V$ で $V\cap Rx_0=\emptyset$ なるものが取れる。
• usc で像を切り離す. $Rx_0\subset Y\setminus V=:O\in\mathcal{O}\tau(Rx_0)$。$R$ は $x_0$ で upper semicontinuous（cards/topology/upper-semicontinuous-relation）だから、$V_0\in\mathcal{N}\xi(x_0)$ で $RV_0\subset O$、すなわち $RV_0\cap V=\emptyset$。$x_0\in\lim_\xi\mathcal{F}$ より $V_0\in\mathcal{F}$、よって $F:=V_0\in\mathcal{F}$ が $RF\cap V=\emptyset$ を満たす。
• 矛盾. もし $(x_0,y)\in\operatorname{adh}{\xi\times\tau}\operatorname{gr}(R)$ なら、$y\in\lim\tau\mathcal{U}$ かつ $\operatorname{gr}(R)\in\mathcal{U}\times$-mesh となる超フィルター経路がある：$y\in\lim_\tau\mathcal{U}$ で $R[\mathcal{F}]\leq\mathcal{U}$ を満たす $\mathcal{U}\in\beta(R[\mathcal{F}])$ が取れる。$V$ は $y$ の閉近傍で $y\in\lim_\tau\mathcal{U}$ ゆえ $V\in\mathcal{U}$、他方 $RF\subset Y\setminus V$ かつ $R[\mathcal{F}]\leq\mathcal{U}$ より $Y\setminus V\in\mathcal{U}$。$V,Y\setminus V\in\mathcal{U}$ は $\mathcal{U}$ が proper filter であることに反する。ゆえに $(x_0,y)\notin\operatorname{adh}\operatorname{gr}(R)$、すなわち $R$ は $x_0$ で graph-closed。∎

得た手筋. 「正則性＝閉近傍の基」で分離の証人を閉集合（$V$ とその補 $O$）に昇格させ、usc（多価連続性）でその閉近傍を像側から追い出す。graph-closed は一般には連続性から出ない（cards/topology/example-viii-4-3-inverse-function-discontinuous が反例）が、値域の正則性＋関係の usc の2つで回復する——単価連続写像で「値域が Hausdorff ならグラフ閉」（Cor IX.5.5）を、多価関係へ拡張した形。usc は分離側の $O\supset Rx_0$ を近傍 $V_0$ の像 $RV_0$ で丸ごと覆う「像の一様な閉じ込め」を担う。

Ex IX.5.8 ✅

問題. 正規位相の閉部分空間は正規であることを示せ。カード: cards/topology/hereditarily-normal

解答（自然言語）. 方針: 部分空間の閉集合は「全空間の閉集合 ∩ 部分空間」だが、$A$ 自身が閉なので $A$ で閉 $\iff$ $X$ で閉——分離すべき2閉集合をそのまま $X$ の閉集合とみなし、$X$ の正規性を使い、開集合を $A$ に制限して戻す。$A$ を正規位相 $X$ の閉部分空間とする。$F_0,F_1$ を $A$ の disjoint な閉集合とする。

• $X$ の閉集合へ昇格. $F_i$ は $A$-閉、$A$ は $X$-閉なので $F_i$ は $X$-閉（閉集合の閉部分空間での閉性は $X$-閉性に等しい：$F_i=\operatorname{cl}_A F_i=\operatorname{cl}_X F_i\cap A=\operatorname{cl}_X F_i$）。ゆえに $F_0,F_1$ は $X$ の disjoint な閉集合。
• $X$ の正規性で分離. cards/topology/normal-topology より disjoint な $X$-開集合 $O_0\supset F_0$, $O_1\supset F_1$ が存在。
• $A$ に制限. Prop VII.3.12（部分位相の開集合）により $O_0\cap A$, $O_1\cap A$ は $A$-開で、依然 disjoint、$F_i\subset O_i\cap A$。ゆえに $A$ は正規。∎

得た手筋. 「閉部分空間では A-閉＝X-閉」——この一点で、部分空間の正規性の検査を全空間の正規性へ丸ごと持ち上げられる。開集合の側は逆に「$X$-開を $A$ に制限」で降ろす（$T_0$ の制限保存 Ex VII.5.5 と同じ「開集合を部分空間へ制限して分離を継承」の骨格 → cards/topology/technique-separation-via-open-witness）。正規性は閉部分空間では遺伝するが一般の部分空間では遺伝しない（cards/topology/hereditarily-normal の Example IX.1.28 が反例）——閉性の仮定が「A-閉→X-閉」の昇格を可能にする鍵。

Ex IX.5.9 ⭐ ✅

問題. 位相空間 $\xi$ が正規であるのは、各 $\xi$-閉集合 $A$ と $U\in\mathcal{O}\xi(A)$ に対して $\operatorname{cl}\xi W \subset U$ なる $W\in\mathcal{O}_\xi(A)$ が存在するとき、かつそのときに限ることを示せ。カード: cards/topology/lem-ix-1-21-normality-open-cover-criterion

解答（自然言語）. 方針: 「2つの disjoint 閉集合を disjoint 開で分離」（正規性の定義）と「閉集合 $A\subset U$ を $\operatorname{cl}W\subset U$ なる $W$ で内側から縮める」（shrinking 条件）は、$A$ と $B:=X\setminus U$ を補い合う閉集合対にすれば同じ主張の裏表である。両向きに翻訳する。

• ($\Rightarrow$、正規 ⟹ shrinking). $A$ を $\xi$-閉、$U\in\mathcal{O}\xi(A)$ とする。$A$ と $X\setminus U$ はともに $\xi$-閉で disjoint（$A\subset U$）。正規性より disjoint な開集合 $W\in\mathcal{O}\xi(A)$, $V\in\mathcal{O}\xi(X\setminus U)$ が存在。$W\cap V=\emptyset$ より $\operatorname{cl}\xi W\cap V=\emptyset$（$V$ は開＝$X\setminus V$ は閉で $W\subset X\setminus V$、閉包を取っても $\operatorname{cl}\xi W\subset X\setminus V$）。ゆえに $X\setminus\operatorname{cl}\xi W\supset V\supset X\setminus U$、すなわち $\operatorname{cl}_\xi W\subset U$。
• ($\Leftarrow$、shrinking ⟹ 正規). $A,B$ を disjoint な $\xi$-閉集合とする。$A\subset X\setminus B=:U\in\mathcal{O}\xi(A)$。shrinking 条件より $W\in\mathcal{O}\xi(A)$ で $\operatorname{cl}\xi W\subset U=X\setminus B$。すると $X\setminus\operatorname{cl}\xi W\in\mathcal{O}\xi(B)$（$B\subset X\setminus\operatorname{cl}\xi W$ は $\operatorname{cl}\xi W\subset X\setminus B$ より）で、$W\cap(X\setminus\operatorname{cl}\xi W)=\emptyset$。ゆえに $A,B$ は disjoint 開集合 $W$, $X\setminus\operatorname{cl}_\xi W$ で分離され、$\xi$ は正規。∎

得た手筋. 「disjoint 閉集合対 $(A,B)$ ⟷ 閉集合と開近傍の対 $(A,U=X\setminus B)$」の補元による往復。分離のもう片方の開集合 $V$ を「$\operatorname{cl}W$ の補集合 $X\setminus\operatorname{cl}W$」として作るのが要——$W\cap V=\emptyset$ を $\operatorname{cl}W\subset U$ という**縮小（shrinking）**の言葉に凝縮できる。この「開集合をその閉包ごと内側に一段縮める」操作は Urysohn の補題（cards/topology/urysohn-lemma）で $[0,1]$ 値関数を二進で構成するときの各段（$\operatorname{cl}U_{p}\subset U_{q}$, $p<q$）そのもので、正規性の実質はこの「閉包込みで縮める余地」にある。可算被覆版（cards/topology/lem-ix-1-21-normality-open-cover-criterion）はこの縮小を可算個すれ違わせる強化形。

Ex IX.5.10 ⭐ ✅

問題. 位相がコンパクトであるのは、有限交叉性を持つ閉集合族がすべて空でない交わりを持つとき、かつそのときに限ることを示せ。カード: cards/topology/finite-intersection-property-compactness

解答（自然言語）. 方針: コンパクト性の定義（開被覆に有限部分被覆）を、開集合の補集合＝閉集合族へド・モルガンで双対化する。両条件は同値変形で結ばれる。$\tau$ を $X$ 上の位相とする。定義より $$\tau\text{ コンパクト}\iff\forall\mathcal{P}\subset\mathcal{O}\tau\Bigl(\textstyle\bigcup{P\in\mathcal{P}}P=X\Rightarrow\exists\mathcal{P}0\subset{\mathrm{fin}}\mathcal{P},\ \bigcup_{P\in\mathcal{P}_0}P=X\Bigr).$$

• 閉集合族への翻訳. $\mathcal{D}:=\mathcal{P}^c={X\setminus P:P\in\mathcal{P}}\subset\mathcal{C}\tau$ とおく。ド・モルガンより $\bigcup{P\in\mathcal{P}}P=X\iff\bigcap_{D\in\mathcal{D}}D=\emptyset$、同じく有限部分族について $\bigcup_{P\in\mathcal{P}0}P=X\iff\bigcap{D\in\mathcal{D}_0}D=\emptyset$。
• 対偶をとる. 上の定義の含意 $\bigl(\bigcup\mathcal{P}=X\Rightarrow\exists\text{有限で}\bigcup=X\bigr)$ の対偶は「すべての有限部分族で $\bigcup_{\mathcal{P}0}\neq X$（＝$\bigcap{\mathcal{D}0}\neq\emptyset$、FIP）ならば $\bigcup\mathcal{P}\neq X$（＝$\bigcap{\mathcal{D}}\neq\emptyset$）」。$\mathcal{P}\leftrightarrow\mathcal{D}$ は補集合により全単射なので、これは $$\forall\mathcal{D}\subset\mathcal{C}_\tau\Bigl(\bigl(\forall\mathcal{D}0\subset{\mathrm{fin}}\mathcal{D},\ \textstyle\bigcap\mathcal{D}_0\neq\emptyset\bigr)\Rightarrow\bigcap\mathcal{D}\neq\emptyset\Bigr),$$ すなわち「FIP を持つ閉集合族は空でない交わりを持つ」に他ならない。両条件は同値変形（補集合＋ド・モルガン＋対偶）で結ばれるので同値。∎

得た手筋. 開被覆 ⟷ 閉集合族の完全双対（補集合 $\mathcal{P}\leftrightarrow\mathcal{D}$・$\bigcup=X\leftrightarrow\bigcap=\emptyset$・「有限部分被覆の存在」⟷「FIP ⟹ 交わり非空」）。「$X$ を覆えない」を「共通部分が空でない」に翻訳する視点転換で、コンパクト性が閉集合の交叉性の言葉になる（cards/topology/finite-subcover-characterization の対偶）。この FIP 版は超フィルター版（cards/topology/compact-convergence-definition）と並ぶコンパクト性の第三の顔で、減少列に特化すると次の Cantor 条件（Ex IX.5.11）になる。→ cards/topology/technique-descending-closed-sets

Ex IX.5.11（Cantor condition） ⭐ ✅

問題. 位相が可算コンパクトであるのは、空でない閉集合の減少列 ${C_n : n<\omega}$ について常に $\bigcap_{n<\omega} C_n \neq \emptyset$ が成り立つとき、かつそのときに限ることを示せ。カード: cards/topology/cantor-condition-countably-compact

解答（自然言語）. 方針: Ex IX.5.10 の双対を「可算」かつ「減少列」に特化する。可算開被覆を増加列に累積してから補集合で減少閉集合列に落とす。$\tau$ を $X$ 上の位相とする。定義（cards/topology/countably-compact）より $$\tau\text{ 可算コンパクト}\iff\forall{O_n}{n<\omega}\subset\mathcal{O}\tau\Bigl(\textstyle\bigcup_{n<\omega}O_n=X\Rightarrow\exists n_0,\ \bigcup_{n\leq n_0}O_n=X\Bigr).$$

• 増加開列への累積. $Q_n:=\bigcup_{k\leq n}O_k$ とおくと ${Q_n}$ は増加開列で $\bigcup_n Q_n=\bigcup_n O_n$。上の条件は「$\bigcup_n Q_n=X$ なる増加開列は、ある $n_0$ で $Q_{n_0}=X$」と同値（$\bigcup_{n\le n_0}O_n=Q_{n_0}$）。
• 減少閉列へ双対化. $C_n:=X\setminus Q_n$ とおくと ${C_n}$ は減少閉列で、$\bigcup_n Q_n=X\iff\bigcap_n C_n=\emptyset$、$Q_{n_0}=X\iff C_{n_0}=\emptyset$。したがって条件は「$\bigcap_n C_n=\emptyset$ なる減少閉列は、ある $n_0$ で $C_{n_0}=\emptyset$」。
• 対偶＝Cantor 条件. その対偶は「すべての $C_n\neq\emptyset$（空でない減少閉列）ならば $\bigcap_n C_n\neq\emptyset$」。$Q_n\leftrightarrow C_n$ は補集合による全単射なので、可算コンパクト性はこの Cantor 条件と同値。∎

得た手筋. 可算開被覆 → 増加開列（累積 $Q_n:=\bigcup_{k\le n}O_k$）→ 減少閉列（補 $C_n:=X\setminus Q_n$）→ Cantor 条件の3段変換。Ex IX.5.10（FIP）の「可算・入れ子」特化版で、有限交叉性が「減少列なら自動」なので条件が減少列の非空交叉ひとつに凝縮する。古典的 Cantor の共通部分定理（$\mathbb{R}$ の縮小閉区間）の抽象形で、次章の「下半連続関数が下限を達成」（Ex X.10.1）・Dini の定理（Ex X.10.9）・ベール的多項式判定（Ex X.10.8）がすべてこの減少閉列 $\bigcap\neq\emptyset$／$\bigcap=\emptyset$ を証人に走る。→ cards/topology/technique-descending-closed-sets