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コンパクト収束の定義 (VIII.3)

  • コンパクト収束の定義 (VIII.3) #Card
    • 収束がコンパクトであることの定義と、超フィルターによる同値な言い換えは。

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収束 $\xi$ が compact :⟺ 全てのフィルターが adherent: $$\operatorname{adh}_\xi \mathcal{H} \neq \emptyset \quad \text{for each } \mathcal{H} \in \mathfrak{F}_X. \tag{VIII.3.1}$$

cards/topology/lem-viii-1-2-ultrafilter-adherence より同値: $$\lim{}_\xi \mathcal{U} \neq \emptyset \quad \text{for each ultrafilter } \mathcal{U} \text{ on } X.$$

  • カオス位相 $o_X$ は（非空 $X$ で）常にコンパクト。離散位相 $\iota_X$ はコンパクト ⟺ $X$ 有限。
  • 有限集合上のどの収束もコンパクト。

$A\subset X$ が $\xi$-compact :⟺ $\xi\vert_A$ がコンパクト。

Meaning

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VIII.3 で著者は compact を「すべてのフィルターが adherent」という収束論的な一行として導入する。開被覆有限部分被覆や Tikhonov の積定理は、この定義を位相へ翻訳した帰結として後から現れる。つまり compact はまず filter の振る舞いであり、開被覆条件は位相の場合の見え方である。

出典: refs/math/topology/royal-road-to-topology/pdfs/chp8-2024-adherences-covers-and-compactness.pdf p.156

Lean

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CompactSpace（超フィルター版の定義は Ultrafilter.le_nhds_lim 等を経由）、IsCompact（部分集合版）。

本ノート RoyalRoad.ChapterVIII.thm_VIII_3_compact_tfae（コンパクト性の4条件 TFAE: CompactSpace ⟺ 全 proper filter が adherent ⟺ 全超フィルターが収束 ⟺ 有限部分被覆、Notes/ChapterVIII.lean、lake build 済み）