Royal Road to Topology Symbol Index
Royal Road to Topology 記号索引
Section titled “Royal Road to Topology 記号索引”2026-07-04 の内容レビューで見つかった課題への対応。このノートを読む際の実際の敷居は論理記号ではなく、フィルター・grill・超フィルター・収束の記号の密度にある。証明の行間でこれらの記号に詰まったときに、定義元の辞書カードへ素早く戻れるようにするための横断索引。
書籍の目次に沿った索引は royal-road-to-topology-Flashcards（章/節順）・進捗は 20_Literature/royal_road_to_topology/progress を参照。こちらは記号 → 定義カードの逆引き専用。
フィルター・収束の基本記号
Section titled “フィルター・収束の基本記号”| 記号 | 意味 | 定義カード |
|---|---|---|
| $\mathcal{F}, \mathcal{G}$ | フィルター（isotone・有限交叉で閉じた部分集合族） | cards/topology/filter |
| $x^\uparrow$ | $x$（または集合 $B$）が生成する主フィルター ${x}^\uparrow$ | cards/topology/principal-filter |
| $\mathbb{F}X$ / $\overline{\mathbb{F}}X$ | $X$ 上の固有フィルター全体／固有＋非固有（$2^X$含む）フィルター全体 | cards/topology/proper-filter |
| $A # B$ / $\mathcal{A} # \mathcal{B}$（mesh） | $A \cap B \neq \emptyset$ ／族同士がすべての対で交わる | cards/topology/grill |
| $\mathcal{A}^{#}$ / $\mathcal{F}^{#}$（grill） | $\mathcal{A}$ のどの元とも交わる集合の全体：${H : \forall A\in\mathcal{A},\ H\cap A\neq\emptyset}$ | cards/topology/grill |
| $\beta X$ | $X$ 上の超フィルター全体（Stone 位相の台集合、Stone–Čech コンパクト化） | cards/topology/stone-topology-ultrafilter-space |
| $\beta\mathcal{F}$（Stone 変換） | $\mathcal{F}\in\mathfrak{F}X$ に対応する $\beta X$ の部分集合 ${p\in\beta X : U(p)\geq\mathcal{F}}$ | cards/topology/stone-topology-ultrafilter-space |
| $\xi \subset \mathbb{F}X \times X$，$\lim_\xi \mathcal{F}$ | 収束構造 $\xi$／$\xi$-極限：$x \in \lim_\xi \mathcal{F} \iff (\mathcal{F}, x) \in \xi$ | cards/topology/convergence |
| $\mathbb{I}X$ / $\mathbb{I}^\circ X$ | $X$ 上の収束全体／前収束全体 | cards/topology/convergence |
| $\operatorname{adh}_\xi A$ | 集合 $A$ の $\xi$-adherence：$\bigcup_{\mathcal{F}#A}\lim_\xi\mathcal{F}$ | cards/topology/adherence |
| $\operatorname{adh}_\xi \mathcal{A}$ | 族 $\mathcal{A}$ への adherence の一般化 | cards/topology/family-adherence |
| $\operatorname{inh}_\xi A$ | 集合 $A$ の $\xi$-inherence（adherence の双対：$(\operatorname{adh}_\xi A^c)^c$） | cards/topology/inherence |
| $V_\xi(x)$ / $\mathcal{V}_\xi(x)$ | $x$ における vicinity filter：$x$ に $\xi$-収束するすべてのフィルターの下限 $\bigwedge \xi^-(x)$ | cards/topology/vicinity-filter |
| $\xi^-(x)$ | $x$ に $\xi$-収束するフィルター全体 | cards/topology/convergence |
| $\mathcal{N}(x)$ | $x$ の近傍系（$\mathbb{R}$ での vicinity filter の古典的記法、第II章） | cards/topology/neighborhood-of-x |
| $\mathcal{N}_\xi(x)$ | 一般の収束/位相 $\xi$ での近傍フィルター（$V_\xi(x)$ と同一視される） | cards/topology/vii-2-9-neighborhood-filter |
| $\mathcal{P} \trianglerighteq_\xi A$（$\xi$-cover） | 族 $\mathcal{P}$ が集合 $A$ の $\xi$-被覆であること | cards/topology/xi-cover-definition |
束・順序の記号
Section titled “束・順序の記号”| 記号 | 意味 | 定義カード |
|---|---|---|
| $\mathcal{F}_0 \vee \mathcal{F}_1$，$\bigvee \mathbb{H}$ | フィルターの上限（sup）：2元では ${F_0\cap F_1 : F_i\in\mathcal{F}_i}$、一般には和集合の有限交叉閉包 | cards/topology/prop-ii-3-2 |
| $\mathcal{F}_0 \wedge \mathcal{F}_1$，$\bigwedge \mathbb{H}$ | フィルターの下限（inf）＝共通部分 $\bigcap \mathbb{H}$ | cards/topology/prop-ii-3-2 |
| $\bigvee A$，$\bigwedge A$（一般の順序集合） | 束（lattice）の上限・下限の抽象定義 | cards/topology/lattice |
| $\zeta \geq \xi$ | 収束 $\zeta$ が $\xi$ より finer（coarser の逆）：$\lim_\zeta \mathcal{F} \subset \lim_\xi \mathcal{F}$（すべての $\mathcal{F}$ で） | cards/topology/order-on-convergences |
| $\mathcal{F} \subset \mathcal{G}$ | フィルターの順序（本書の規約：包含が大きいほど finer） | cards/topology/filter |
| $\leq$（フィルターの文脈） | 一部のカード（例: Stone 変換）では $\mathcal{F}_0 \leq \mathcal{F}_1$ を $\mathcal{F}_0 \subset \mathcal{F}_1$（$\mathcal{F}_1$ がより細かい）の意味で使う。収束の $\zeta \geq \xi$（finer）と向きが逆に見えるので注意——フィルターは $\subset$/$\leq$ が大きいほど finer、収束は $\geq$ が大きいほど finer、同じ「finer」でも記号の向きが対象ごとに違う | cards/topology/stone-topology-ultrafilter-space |
- 証明中で $\mathcal{F}^{#}$ や $\operatorname{adh}_\xi$ などの記号に詰まったら、この表から定義カードへ飛んで定義・性質・関連命題を確認する。
- 各定義カードの Back 面には関連する命題・双対関係へのリンクが張られているので、そこからさらに辿れる。
- Lean 対応（Mathlib の
Filter/nhds等との橋渡し）は各カードの## Lean節、および順序の向きの注意は 20_Literature/royal_road_to_topology/chapter2 のノートを参照。