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Filter (フィルター)

  • Filter (フィルター) #Card
    • Let $X$ be a non-empty set. A family $\mathcal{F}$ of subsets of $X$ is called a filter on $X$ if it is: 1. Isotone: $F \in \mathcal{F}$ and $F \subset G \implies G \in \mathcal{F}$ 2. Finitely Complete: $F_0, F_1 \in \mathcal{F} \implies F_0 \cap F_1 \in \mathcal{F}$

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Let $X$ be a non-empty set. A family $\mathcal{F}$ of subsets of $X$ is called a filter on $X$ if it is:

  1. Isotone: $F \in \mathcal{F}$ and $F \subset G \implies G \in \mathcal{F}$
  2. Finitely Complete: $F_0, F_1 \in \mathcal{F} \implies F_0 \cap F_1 \in \mathcal{F}$

Meaning

Section titled “Meaning”

II.1 では、列の収束が $\mathcal{N}(x) \subset \Gamma_\varphi$ という二つの集合族の包含で特徴づけられることを見た。これらの族は isotone・finitely complete・proper という共通の性質を持つ。

この共通性質からフィルター概念が抽出される。近傍族 $\mathcal{N}(x)$ と列に付随する族 $\Gamma_\varphi$ は proper filter である。proper とは $\emptyset \notin \mathcal{F}$ であること；non-empty proper filter を non-degenerate と呼ぶ。

出典: refs/math/topology/royal-road-to-topology/pdfs/chp2-2024-from-convergence-of-sequences-to-the-concept-of-filter.pdf p.20–21

Lean

Section titled “Lean”

Filter X（Mathlib。univ_sets/sets_of_superset/inter_sets。本書と異なり improper も許容）