Royal Road to Topology Chapter IV Exercises

Chapter IV 演習ログ

状態: ⬜ 未着手 / 🟡 詰まり中 / ✅ 解決。🚩=要再訪。⭐=ゴール（測度論的確率統計）に効く問題。 IV.10 Supplement の演習から 4 問を選別（IV.10.4, IV.10.8, IV.10.9, IV.10.13）。IV.10.4 / IV.10.8 / IV.10.13 は書籍に解答併載（自力で解いてから照合、照合済み）。IV.10.9 は書籍未解答。

IV.10 Supplement

Ex IV.10.4 ✅

問題. Proposition IV.3.3 を証明せよ: $f \in Y^X$、$\tau$ を $Y$ 上の収束とするとき、$x \in \lim_{f^-\tau} \mathcal{F}$ ならば $$f^-(f(x)) \subset \lim_{f^-\tau} f^-[f[\mathcal{F}]] \subset \lim_{f^-\tau} \mathcal{F}.$$ （始収束は「点の収束」ではなく「ファイバーの収束」である。）カード: cards/topology/initial-convergence

解答（自然言語）. 方針: 始収束の lim 公式 $\lim_{f^-\tau} \mathcal{F} = f^-(\lim_{\tau} f[\mathcal{F}])$ と吸収律 $f(f^-(f(A))) = f(A)$ だけで機械的に展開する。

1. $x \in \lim_{f^-\tau} \mathcal{F} = f^-(\lim_{\tau} f[\mathcal{F}])$ は $f(x) \in \lim_{\tau} f[\mathcal{F}]$ を意味する。よって $$f^-(f(x)) \subset f^-(\lim_{\tau} f[\mathcal{F}]) = \lim_{f^-\tau} \mathcal{F}.$$
2. 中央の項: 任意の写像 $f$ と集合 $A$ で $f(f^-(f(A))) = f(A)$ が成り立つので、フィルターの像でも $f[f^-[f[\mathcal{F}]]] = f[\mathcal{F}]$。ゆえに $$\lim_{f^-\tau} f^-[f[\mathcal{F}]] = f^-\bigl(\lim_{\tau} f[f^-[f[\mathcal{F}]]]\bigr) = f^-(\lim_{\tau} f[\mathcal{F}]) = \lim_{f^-\tau} \mathcal{F}.$$ これと 1. を合わせて主張の2つの包含（2つ目は実は等号）を得る。∎

核心. 始収束では $x$ が収束するならファイバー $f^-(f(x))$ 全体が収束し、フィルターも $f^-[f[\mathcal{F}]]$（ファイバーで飽和させたもの）に置き換えてよい。始収束が「点」を区別できるのは $f$ が単射のとき（そのときファイバーは1点）。

得た手筋. 像・逆像の吸収律 $f \circ f^- \circ f = f$（cards/topology/image-preimage-adjunction の帰結）でフィルターの飽和化を消す。

Ex IV.10.8 ⭐ ✅

問題. 次を示せ: $$f\Bigl(\bigwedge_{\xi \in \Xi} \xi\Bigr) = \bigwedge_{\xi \in \Xi} f\xi, \qquad f^-\Bigl(\bigvee_{\tau \in T} \tau\Bigr) = \bigvee_{\tau \in T} f^-\tau,$$ $$g\Bigl(\bigwedge_{j \in J} f_j \xi_j\Bigr) = \bigwedge_{j \in J} (g \circ f_j)\xi_j, \qquad f^-\Bigl(\bigvee_{j \in J} g_j^- \tau_j\Bigr) = \bigvee_{j \in J} (g_j \circ f)^- \tau_j.$$ （随伴公式 (IV.3.5) $f\xi \geq \tau \iff f \in C(\xi,\tau) \iff \xi \geq f^-\tau$ を使う。）

解答（自然言語）. 方針: 順序集合では「$\theta \geq \tau$ となる $\tau$ の集合が一致すれば $\theta$ は一致する」（反対称性）。随伴公式で両辺が支配する対象の集合を突き合わせる。

1. 第1式. 任意の収束 $\tau$（$|f\xi|$ 上）に対して $$f\Bigl(\bigwedge_{\Xi}\xi\Bigr) \geq \tau \overset{\text{(IV.3.5)}}{\iff} \bigwedge_{\Xi}\xi \geq f^-\tau \iff \forall \xi \in \Xi,\ \xi \geq f^-\tau \overset{\text{(IV.3.5)}}{\iff} \forall \xi,\ f\xi \geq \tau \iff \bigwedge_{\Xi} f\xi \geq \tau.$$ （2つ目の $\iff$ は下限の普遍性。）両辺が同じ $\tau$ を支配するので等しい。
2. 第2式. 双対に、任意の $\xi$ に対して $\xi \geq f^-(\bigvee_T \tau) \iff f\xi \geq \bigvee_T \tau \iff \forall \tau,\ f\xi \geq \tau \iff \forall \tau,\ \xi \geq f^-\tau \iff \xi \geq \bigvee_T f^-\tau$。下から支配する対象が同じなので等しい。
3. 合成則. まず $(g \circ f)\xi = g(f\xi)$: 任意の $\tau$ で $(g \circ f)\xi \geq \tau \iff g \circ f \in C(\xi, \tau)$、一方 $g(f\xi) \geq \tau \iff g \in C(f\xi, \tau)$ で、連続写像の合成（$f \in C(\xi, f\xi)$ と合成則 IV.2）から両者は同値。双対に $(g \circ f)^-\tau = f^-(g^-\tau)$。
4. 第3・4式. 第1式を族 ${f_j\xi_j}$ に適用し 3. で書き換える: $$g\Bigl(\bigwedge_j f_j\xi_j\Bigr) = \bigwedge_j g(f_j\xi_j) = \bigwedge_j (g \circ f_j)\xi_j.$$ 第4式も同様に $f^-(\bigvee_j g_j^-\tau_j) = \bigvee_j f^-(g_j^-\tau_j) = \bigvee_j (g_j \circ f)^-\tau_j$。∎

核心. 終収束 $f(\cdot)$ と始収束 $f^-(\cdot)$ は随伴対（Galois 接続）であり、左側は $\bigwedge$ を、右側は $\bigvee$ を保存する。第4式は「複数の写像で引き戻した始収束の上限」——弱位相 $\sigma(X, {f_j})$・積収束・射影極限の計算規則そのもの。測度論では弱収束位相（分布の収束）・積 $\sigma$-代数が正確にこの形。

得た手筋. 随伴（Galois 接続）で等式を「支配する対象の一致」に帰着 → cards/topology/technique-galois-adjunction

Ex IV.10.9 ⭐ ✅（書籍未解答）

問題. Example IV.3.16 の円周の収束 $\rho$（$\mathbb{S} \subset \mathbb{R}^2$ 上の部分収束）と Example IV.3.10 の区間の収束 $\mu$（$[0,1]$ 上の標準収束の制限）が同相でないことを示せ。

解答（自然言語）. 方針: 連結性はまだ使えない（第XIII章）ので、中間値定理（IVT）を sup で自前証明し、「円周上の連続単射実数値関数は中間値を2つの弧で2回とる」ことと単射性の矛盾を導く。

補題（IVT）. $\varphi: [u,v] \to \mathbb{R}$ が（$\nu_{\mathbb{R}}$ の制限で）連続、$\varphi(u) < c < \varphi(v)$ ならば $\varphi(\theta^) = c$ なる $\theta^ \in, ]u,v[$ が存在する。 証明. $S := {\theta \in [u,v] : \varphi(\theta) \leq c}$ は $u$ を含み $v$ で上に有界なので、$\mathbb{R}$ の相対完備性（Example I.3.9）より $\theta^* := \sup S$ が存在する。連続性は ε-δ（cards/topology/continuity-epsilon-delta）で使える。

• $\varphi(\theta^) < c$ なら、連続性からある $\delta > 0$ で $]\theta^-\delta, \theta^+\delta[$ 上 $\varphi < c$。$\varphi(v) > c$ より $\theta^ < v$ だから $\theta^* + \frac{\delta}{2} \in S$ となり sup に矛盾。
• $\varphi(\theta^) > c$ なら、ある $\delta > 0$ で $]\theta^-\delta, \theta^+\delta[$ 上 $\varphi > c$、つまり $S \cap, ]\theta^-\delta, \theta^] = \emptyset$。すると $\theta^-\delta$ が $S$ の上界となり $\sup S = \theta^$ に矛盾。 よって $\varphi(\theta^) = c$、また $\varphi(u) < c < \varphi(v)$ より $\theta^* \in, ]u,v[$。∎ 本体. $h \in H(\rho, \mu)$（同相 cards/topology/homeomorphism）が存在したとして矛盾を導く。$a := h^-(0)$, $b := h^-(1)$ とおき、$a = (\cos\alpha, \sin\alpha)$, $b = (\cos\beta, \sin\beta)$、回転（$\rho$ の同相）で $\alpha = 0 < \beta < 2\pi$ としてよい。 $e(\theta) := (\cos\theta, \sin\theta)$ は $\nu_{\mathbb{R}} \to \nu_{\mathbb{R}}^2$ 連続（$|\cos\theta - \cos\theta’| \leq |\theta - \theta’|$ 等の初等評価で ε-δ）であり、値は $\mathbb{S}$ に入るから、$\rho = j_{\mathbb{S}}^-(\nu_{\mathbb{R}}^2)$ の始収束の普遍性（部分空間に入る写像の連続性は埋め込みとの合成で判定、IV.3–IV.4）により $e: \nu_{\mathbb{R}} \to \rho$ も連続。よって合成 $$\varphi := h \circ e : \mathbb{R} \to [0,1]$$ は連続で、$\varphi(0) = 0$, $\varphi(\beta) = 1$, $\varphi(2\pi) = 0$。
• 弧1: $[0, \beta]$ 上で $\varphi(0) = 0 < \tfrac12 < 1 = \varphi(\beta)$、IVT より $\varphi(\theta_1) = \tfrac12$ なる $\theta_1 \in, ]0, \beta[$。
• 弧2: $[\beta, 2\pi]$ 上で $\varphi(\beta) = 1 > \tfrac12 > 0 = \varphi(2\pi)$、IVT（$-\varphi$ に適用）より $\varphi(\theta_2) = \tfrac12$ なる $\theta_2 \in, ]\beta, 2\pi[$。

$0 < \theta_1 < \beta < \theta_2 < 2\pi$ より $e(\theta_1) \neq e(\theta_2)$（角度差が $]0, 2\pi[$ 内）。しかし $h(e(\theta_1)) = \tfrac12 = h(e(\theta_2))$ は $h$ の単射性に反する。∎ 核心. 同相不変量「1点の値を実現する点の個数」: 区間上では中間値は最低1回だが端点値は1回、円周上では端点以外のどの値も最低2回実現される。連結性・コンパクト性なしでも、$\mathbb{R}$ の完備性（sup の存在）だけで区別できる。 得た手筋. sup による IVT の自前証明＋「円周では中間値が2回」の counting 論法 → cards/topology/technique-intermediate-value。IVT は分布関数（CDF）の中間値・分位点（quantile）の存在の骨格でもある。

Ex IV.10.13 ✅

問題. ${\xi_j : j \in J}$ を $X$ 上の収束の集合とするとき、積収束の対角集合への制限が上限に一致することを示せ: $$\Bigl(\prod_{j \in J} \xi_j\Bigr)\Big|{\Delta(X)} = \bigvee{j \in J} \xi_j.$$

解答（自然言語）. 方針: 対角写像 $\Delta: X \to X^J$, $\Delta(x) := (x)_{j \in J}$ は $X$ と $\Delta(X)$ の間の全単射で、$p_j \circ \Delta = i_X$。フィルターの対応で両辺の収束条件を突き合わせる。

• $\Delta(X)$ 上のフィルター $\mathcal{G}$（$\Delta(X) \in \mathcal{G}$）は $\mathcal{G} = \Delta[\mathcal{F}]$（$\mathcal{F} := \Delta^{\sim 1}[\mathcal{G}]$、$\Delta$ は単射なので一意）と書ける。また $p_j[\Delta[\mathcal{F}]] = (p_j \circ \Delta)[\mathcal{F}] = \mathcal{F}$。
• 制限側: $\Delta(x) \in \lim_{(\prod \xi_j)|{\Delta(X)}} \Delta[\mathcal{F}]$ とは、積収束（cards/topology/product-convergence）の定義から各 $j$ で $p_j(\Delta(x)) = x \in \lim{\xi_j} p_j[\Delta[\mathcal{F}]] = \lim_{\xi_j} \mathcal{F}$、すなわち $$x \in \bigcap_{j \in J} \lim_{\xi_j} \mathcal{F} = \lim_{\bigvee_j \xi_j} \mathcal{F}$$ （上限の lim 公式）。
• よって全単射 $\Delta$ を通して $(\prod_j \xi_j)|{\Delta(X)}$ の収束と $\bigvee_j \xi_j$ の収束は完全に一致する（$\Delta \in H(\bigvee_j \xi_j,\ (\prod_j \xi_j)|{\Delta(X)})$）。∎

核心. 上限（＝すべての $\xi_j$ で同時に収束）は積収束への対角埋め込み。「同時収束」を1本の埋め込みに束ねる操作で、弱位相 $\sigma(X, {f_j}) = \bigvee_j f_j^- \tau_j$ が積空間への埋め込み $x \mapsto (f_j(x))_j$ で実現される、という関数解析・確率論（有限次元分布での同時収束）の標準手筋の抽象形。

得た手筋. 全単射でフィルターを運んで収束条件を突き合わせる。随伴計算（Ex IV.10.8）との合わせ技 → cards/topology/technique-galois-adjunction