Continuity on $\mathbb{R}$ = $\varepsilon$–$\delta$ ($\varepsilon$–$\delta$ 連続性の回復) (Example IV.2.3)
- Continuity on $\mathbb{R}$ = $\varepsilon$–$\delta$ ($\varepsilon$–$\delta$ 連続性の回復) (Example IV.2.3) #Card
- フィルター的連続性 $f \in C(\nu_\mathbb{R}, \nu_\mathbb{R})$ を古典的な $\varepsilon$–$\delta$ に言い換えると。
$f \in C(\nu_\mathbb{R}, \nu_\mathbb{R})$ if and only if for each $x \in \mathbb{R}$ and each $\varepsilon > 0$, there exists $\delta > 0$ such that $$|r - x| < \delta \implies |f(r) - f(x)| < \varepsilon.$$
導出: $x \in \lim_{\nu} \mathcal{F} \iff ]x-\delta, x+\delta[ \in \mathcal{F}$ ($\forall \delta$)、$f(x) \in \lim_\nu f[\mathcal{F}] \iff \forall \varepsilon\ \exists F \in \mathcal{F},\ \sup_{r \in F} |f(x) - f(r)| < \varepsilon$。フィルター的定義が古典的 $\varepsilon$–$\delta$ 連続性を正確に回復する。