Royal Road to Topology Chapter VII Exercises

Chapter VII 演習ログ

状態: ⬜ 未着手 / 🟡 詰まり中 / ✅ 解決。🚩=要再訪。⭐=ゴール（測度論的確率統計）に効く問題。 第VII章には正式な演習節（VII.7 Supplement）に Exercise VII.7.3 が1問あるのみのため、本文中で証明が省略された命題（“straightforward” / “easy to check” 等）から4問を追加選別し、計5問とした。解答は Phase G-1（issue #12）で完了（2026-07-04、全5問 ✅、🚩 なし）。

VII.2. Open Sets, Interior, Neighborhoods

Ex VII.2.3 ✅

問題. 上 Sorgenfrey 直線 $\varsigma_+$（右半開区間収束）において、$r<s$ のとき区間 $]-\infty,r[$, $[r,s[$, $[s,+\infty[$ はいずれも $\varsigma_+$-開かつ $\varsigma_+$-閉であり、区間 $]r,s[$ と $]s,+\infty[$ は $\varsigma_+$-開だが $\varsigma_+$-閉でないことを示せ。カード: cards/topology/sorgenfrey-open-closed-example

解答（自然言語）. $\varsigma_+$ の近傍基は右半開区間 $[x,x+\varepsilon[$（$\varepsilon>0$）であり、開集合の判定は「$A$ が $\varsigma_+$-開 $\iff$ 各 $x\in A$ にある $\varepsilon>0$ で $[x,x+\varepsilon[\subset A$」（cards/topology/sorgenfrey-open-closed-example の基準）。閉性は補集合の開性で判定する。

• $[r,s[$ は開. $x\in[r,s[$ なら $\varepsilon:=s-x>0$ で $[x,x+\varepsilon[=[x,s[\subset[r,s[$。閉性は補集合 $]-\infty,r[\cup[s,+\infty[$ が開であることによる（下記で両片が開と分かる）。よって clopen。
• $]-\infty,r[$ は開. $x<r$ なら $\varepsilon:=r-x>0$ で $[x,r[\subset]-\infty,r[$。補集合 $[r,+\infty[$ も開（$x\ge r$ で $[x,x+1[\subset[r,+\infty[$）。よって clopen。
• $[s,+\infty[$ は開. $x\ge s$ で $[x,x+1[\subset[s,+\infty[$。補集合 $]-\infty,s[$ は上と同型に開。よって clopen。
• $]r,s[$ は開だが閉でない. $x\in]r,s[$ なら $\varepsilon:=s-x>0$ で $[x,s[\subset]r,s[$、よって開。閉でないことは補集合 $C:=]-\infty,r]\cup[s,+\infty[$ が開でないことを見る：点 $r\in C$ の任意の右半開近傍 $[r,r+\varepsilon[$ は $r<r+\min(\varepsilon,s-r)/2<s$ なる点を含み $]r,s[$ にはみ出す。ゆえに $[r,r+\varepsilon[\not\subset C$、$C$ は開でない、すなわち $]r,s[$ は閉でない。
• $]s,+\infty[$ は開だが閉でない. $x>s$ で $\varepsilon:=1$ とすれば $[x,x+1[\subset]s,+\infty[$、開。補集合 $]-\infty,s]$ が開でないのは、点 $s$ の右半開近傍が必ず $s$ より右へはみ出すため（$]r,s[$ と同じ論法）。∎

得た手筋. Sorgenfrey では「開判定＝各点に右半開区間が収まるか」「閉判定＝補集合で同じ検査」の2段構え。左端点 $r$ は自分の右半開近傍に守られるが、右端点 $s$ は $s$ より右へ必ずはみ出す——この左右非対称が「両側開区間 $]r,s[$ が clopen にならない／片側半開 $[r,s[$ が clopen になる」の根源。閉でないことを示すには境界点を1つ選び、その近傍が集合の外へはみ出すことを見れば足りる（この「分離開集合／近傍による判定」の一般形は分離公理の運搬手筋 cards/topology/technique-separation-via-open-witness と同根）。

VII.4. Structure of the Class of Topologies

Ex VII.4.9 ⭐ ✅

問題. $X:=\mathbb{R}^2$ 上で、任意の直線 $L\subset\mathbb{R}^2$ について $A\cap L$ が $L$（標準位相 $\nu_{\mathbb{R}}$ 付き）で閉であるとき $A$ を $\lambda$-閉と定める。閉集合族 $\mathcal{C}\lambda$ が (VII.1.2)（$\emptyset,X\in\mathcal{C}\lambda$）と (VII.1.4)（有限合併で閉じる）を直接満たすことを確認し、$\lambda$（radial topology）が位相を定めることを示せ。カード: cards/topology/radial-topology

解答（自然言語）. 方針: 「各直線 $L$ 上の切断 $A\cap L$ が $L$ で閉」という定義を、各 $L$ ごとの検査に分解する。閉集合族の3公理 (VII.1.2)–(VII.1.4) を検査すれば、cards/topology/closed-sets-lattice-axioms により $\mathcal{C}_\lambda$ はある収束の閉集合族になり得るが、ここでは $\lambda$ が位相（＝閉包が冪等な前位相）であることまで示す。

• (VII.1.2) 任意の $L$ で $\emptyset\cap L=\emptyset$、$X\cap L=L$ はともに $L$ で閉。ゆえに $\emptyset,X\in\mathcal{C}_\lambda$。
• (VII.1.3)（任意交叉） ${A_i}{i\in I}\subset\mathcal{C}\lambda$ とする。各 $L$ で $\bigl(\bigcap_i A_i\bigr)\cap L=\bigcap_i(A_i\cap L)$。各 $A_i\cap L$ は $L$ で閉、閉集合の任意交叉は $L$ で閉（$\nu_{\mathbb{R}}$ 上の位相の公理）。ゆえに $\bigcap_i A_i\in\mathcal{C}_\lambda$。
• (VII.1.4)（有限合併） $A,B\in\mathcal{C}\lambda$ とする。各 $L$ で $(A\cup B)\cap L=(A\cap L)\cup(B\cap L)$ は $L$ で閉な2集合の合併ゆえ $L$ で閉。有限個へは帰納法。ゆえに $A\cup B\in\mathcal{C}\lambda$。
• 位相であること. $\mathcal{C}\lambda$ は「(VII.1.2)＋任意交叉 (VII.1.3)＋有限合併 (VII.1.4)」を満たす集合族なので、閉集合族が位相を定める判定（cards/topology/closed-sets-determine-topology）により、$\mathcal{O}\lambda:={A^c:A\in\mathcal{C}\lambda}$ を開集合系とする位相が一意に定まる。この位相の閉包 $\operatorname{cl}\lambda A=\bigcap{C\in\mathcal{C}\lambda:C\supset A}$ は $\mathcal{C}\lambda$ が任意交叉で閉じることから $\mathcal{C}_\lambda$ の元、ゆえに冪等（閉集合の閉包はそれ自身）。よって cards/topology/topology-definition（前位相＋adherence 冪等）の意味でも $\lambda$ は位相。∎

得た手筋. 「各直線ごとの検査」で閉集合族の公理を丸ごと $L$ 上の1次元標準位相に落とす。切断作用素 $A\mapsto A\cap L$ が合併・交叉・補集合と可換（$(A\cup B)\cap L=(A\cap L)\cup(B\cap L)$ 等）なので、閉集合公理が各 $L$ で独立に成立すれば全体で成立する——これは始位相（initial topology）を「各座標／各テスト写像ごとに検査する」思想の原型で、$\lambda=\bigvee_L (\text{$L$への制限による始位相})$ という上限表示に対応する。測度論では「各座標への射影で可測性を検査する」積 $\sigma$-代数の生成に同じ骨格が現れる。

VII.5. Initial Density of the Sierpiński Topology

Ex VII.5.5 ✅

問題. $T_0$ 位相の任意の制限（部分空間）は $T_0$ 位相であることを示せ。（一般の収束構造では $T_0$ 性は制限で保存されないことと対比せよ。カード側の反例を参照。）カード: cards/topology/t0-convergence

解答（自然言語）. 方針: 位相の $T_0$ 性は「相異なる2点の一方のみを含む開集合が存在」（Prop VII.5.4）と同値。部分空間 $Y\subset X$ の開集合は $X$ の開集合と $Y$ の共通部分（部分位相の定義）なので、$X$ の分離開集合を $Y$ に制限すれば足りる。 $\xi$ を $X$ 上の $T_0$ 位相、$Y\subset X$、$\theta:=\xi|_Y$ を部分位相とする。$Y$ の相異なる2点 $y_0\neq y_1$ をとる。これらは $X$ でも相異なる点なので、$\xi$ の $T_0$ 性（Prop VII.5.4）により、$y_0,y_1$ の一方のみを含む $\xi$-開集合 $O$ が存在する（例えば $y_0\in O$, $y_1\notin O$）。すると $O\cap Y$ は $\theta$-開（部分位相の定義）で、$y_0\in O\cap Y$ かつ $y_1\notin O\cap Y$。ゆえに $\theta$ でも「一方のみを含む開集合」が存在し、Prop VII.5.4 の逆向きにより $\theta$ は $T_0$。∎

対比（一般の収束では破綻）. cards/topology/t0-convergence の注記の通り、一般の収束構造では $T_0$ 性は制限で保存されない（Example III.7.6）。理由は「$T_0$」の定義 $x_0\neq x_1\Rightarrow\xi^-(x_0)\neq\xi^-(x_1)$（$x$ に収束するフィルターの族が点を区別する）が、制限でフィルター族が痩せることにより区別能力を失いうるから。位相ではこの区別が「開集合」という点ごとに切り出せる objects で担われるため、開集合を $Y$ に制限しても区別が生き残る——位相の $T_0$ 性が開集合という局所化可能な証拠で表せることが保存の本質。

得た手筋. 「$T_0$（位相）＝分離開集合の存在（Prop VII.5.4）」への言い換え → 部分位相の開集合＝$X$ の開集合の制限、という2段で分離性を継承させる。分離公理を「証拠となる開集合の存在」に翻訳してから制限・積・連続像で運ぶのは分離公理全般（$T_1,T_2,\dots$）に効く定石。→ cards/topology/technique-separation-via-open-witness

Ex VII.5.6 ⭐ ✅

問題. Theorem VII.5.2（各位相は Sierpiński 位相の前像の上限で表される）と Proposition VII.5.4（$T_0$ 位相の特徴づけ：相異なる2点の一方のみを含む開集合が存在）を用いて、Corollary VII.5.6「任意の $T_0$ 位相 $\xi$ は Sierpiński 立方体 $\prod_{f\in C(\xi,$)} $$ に埋め込み可能である」を示せ（対角写像 $\triangle_{f\in C(\xi,$)} f$ が単射かつ埋め込みであることを確認する）。カード: cards/topology/thm-vii-5-2-sierpinski-initially-dense

解答（自然言語）. 記号: $$=$0$（上 Sierpiński 位相、$\mathcal{C}$={\emptyset,{1},{0,1}}$）。$C:=C(\xi,$)$ は $\xi$-連続な特性関数の全体で、Lemma VII.5.1 により $f\in C\iff f^-(1)=f^{-1}(1)$ が $\xi$-開、すなわち $C={\chi_O:O\in\mathcal{O}\xi}$（特性関数 $\chi_O$ を上 Sierpiński へ、開集合が原像 $\chi_O^{-1}(1)=O$）。対角写像 $$e:=\triangle{f\in C} f:\ X\to$^C=\prod_{f\in C}$,\qquad e(x):=(f(x))_{f\in C}.$$ 埋め込みであることを2段で示す。

1. $e$ は連続かつ始位相を誘導（Thm VII.5.2）. 積 $$^C$ の始位相は各射影 $\pi_f$ の前像の上限。$\pi_f\circ e=f$ は連続なので $e$ は連続（cards/topology/diagonal-product-map の普遍性）。さらに Theorem VII.5.2 は $\xi=\bigvee_{O\in\mathcal{O}\xi}\chi_O^-$=\bigvee{f\in C} f^-$$、すなわち $\xi$ が「各 $f\in C$ を連続にする最も粗い位相＝対角による始位相 $e^-($^C)$」に一致することを主張する。ゆえに $e$ は $X$ 上に $\xi$ をちょうど誘導する（始収束を誘導する写像＝埋め込みの第一条件）。
2. $e$ は単射（ここで $T_0$ を使う）. $x_0\neq x_1$ とする。$\xi$ が $T_0$ なので Prop VII.5.4 により一方のみを含む $\xi$-開集合 $O$ が存在、例えば $x_0\in O$, $x_1\notin O$。対応する $f=\chi_O\in C$ は $f(x_0)=1\neq 0=f(x_1)$。ゆえに $e(x_0)$ と $e(x_1)$ は第 $f$ 座標で異なり $e(x_0)\neq e(x_1)$。単射。
3. 結論. $e$ は単射で、$X$ 上に $\xi$ を始位相として誘導する。よって $e$ は像 $e[X]\subset$^C$ の上への同相、すなわち cards/topology/embedding の意味での埋め込み。したがって $T_0$ 位相 $\xi$ は Sierpiński 立方体 $$^C$ に埋め込める。∎

得た手筋. **「区別する連続写像の族 → 対角写像 → 立方体への埋め込み」**の3段テンプレート。(i) テスト写像族 $C$ が始位相を誘導（Thm VII.5.2）、(ii) 族が点を分離（$T_0$／Prop VII.5.4）すれば対角が単射、この2つで埋め込みが出る。同じ骨格が cards/topology/tikhonov-cube-embedding（Tikhonov 立方体 $[0,1]^C$ への埋め込み、$T_{3\frac12}$ 版）・cards/topology/sierpinski-cube-embedding・cards/topology/diagonal-product-map を貫く。→ cards/topology/technique-diagonal-embedding（対角埋め込み）。測度論では「可測関数の族で点／事象を分離し積空間へ埋め込む」（標準ボレル空間・分布による埋め込み）に対応。

VII.7. Supplement

Ex VII.7.3 ⭐ ✅

問題. $\displaystyle\lim{}{T\xi} \mathcal{F} = \bigcap{F\in \mathcal{C}_\xi \cap \mathcal{F}^#} F$ を示せ（$T\xi$ は $\xi$ の topologization、閉集合による表示式）。書籍に解答併載。カード: cards/topology/topologizer

解答（自然言語）. 使う事実: (a) Theorem VII.4.1（cards/topology/topologizer）の構成 $\lim_{T\xi}\mathcal{F}=\bigcap_{A\in\mathcal{F}^#}\operatorname{cl}\xi A$。(b) $T\xi$ は位相なので閉集合族は不変 $\mathcal{C}{T\xi}=\mathcal{C}\xi$、かつ位相では $\operatorname{cl}=\operatorname{adh}$（cards/topology/cor-vii-1-8）。(c) $F$ が $\xi$-閉 $\iff \operatorname{cl}\xi F=F$。目標は $\displaystyle\bigcap_{A\in\mathcal{F}^#}\operatorname{cl}\xi A=\bigcap{F\in\mathcal{C}_\xi\cap\mathcal{F}^#}F$（右辺は「$\mathcal{F}$ と mesh する $\xi$-閉集合すべての交叉」）。両側の包含を示す。

• ($\subset$) 右辺の交叉の各元は「$\mathcal{F}^#$ に属する閉集合 $F$」。そのような $F$ は $A:=F\in\mathcal{F}^#$ かつ $\operatorname{cl}\xi A=\operatorname{cl}\xi F=F$ なので左辺の交叉の項に現れている。左辺は $A$ が $\mathcal{F}^#$ 全体を走るより多くの項の交叉なので、$\bigcap_{A\in\mathcal{F}^#}\operatorname{cl}\xi A\subset\bigcap{F\in\mathcal{C}_\xi\cap\mathcal{F}^#}F$。
• ($\supset$) 逆に、左辺の各項 $\operatorname{cl}\xi A$（$A\in\mathcal{F}^#$）が右辺の交叉を含むことを示せばよい。$F:=\operatorname{cl}\xi A$ とおくと $F$ は $\xi$-閉（cards/topology/closure-operation：閉包は閉）で $F\supset A$。$A\in\mathcal{F}^#$（$A$ は $\mathcal{F}$ の全メンバーと交わる）ならば $F\supset A$ より $F$ も $\mathcal{F}$ の全メンバーと交わる、すなわち $F\in\mathcal{C}\xi\cap\mathcal{F}^#$。ゆえに $\operatorname{cl}\xi A=F$ は右辺交叉の項の1つであり、$\bigcap_{F\in\mathcal{C}\xi\cap\mathcal{F}^#}F\subset\operatorname{cl}\xi A$。$A$ は任意ゆえ右辺 $\subset$ 左辺の各項、したがって右辺 $\subset$ 左辺。
• 両包含より等式成立。∎

得た手筋. 「閉包 $\operatorname{cl}_\xi A$ を経由して $\mathcal{F}^#$ の項を $\xi$-閉集合の項に取り替える」——$\operatorname{cl}\xi A$ は $A$ を含む最小の閉集合なので、$A\in\mathcal{F}^#\Rightarrow\operatorname{cl}\xi A\in\mathcal{C}\xi\cap\mathcal{F}^#$、逆に閉集合はその閉包自身。この「閉包で正規化して mesh 条件を閉集合に昇格」する操作で、$\bigcap{A\in\mathcal{F}^#}\operatorname{cl}\xi A$ と $\bigcap{\xi\text{-closed }F\in\mathcal{F}^#}F$ が一致する。位相での $\lim$ の閉集合表示 cards/topology/prop-vii-3-2-lim-via-closure と同じ構図で、$\mathcal{C}{T\xi}=\mathcal{C}\xi$（topologization は閉集合族を変えない）が本質的に効いている。