📐 Theorem VII.5.2 / Corollary VII.5.3・VII.5.6（Sierpiński 位相は位相クラスで initially dense）
- 📐 Theorem VII.5.2 / Corollary VII.5.3・VII.5.6（Sierpiński 位相は位相クラスで initially dense） #Card
- 「各位相は Sierpiński 位相の積の始収束」の主張と、その帰結は。
Thm VII.5.2: 位相 $\xi$ は Sierpiński 位相の逆像の supremum: $$\xi = \bigvee_{H \in \mathcal{C}_\xi} \chi_H^-$_0.$$
Cor VII.5.3: Sierpiński 位相は位相クラス $\mathbb{T}$ で cards/topology/initial-density、ゆえに $\mathbb{T}$ は simple（cards/topology/bourdaud-pretopology の前位相版と対応）。
Cor VII.5.6: 位相 $\xi$ が $T_0$ なら（Prop VII.5.4: 異なる2点を分離する開集合が存在）、対角写像 $\triangle_{f\in C(\xi,$)} f$ は単射 → $\xi$ は Sierpiński 立方体 $\prod_{f\in C(\xi,$)} $$ に埋め込み可能。
測度論的な埋め込み定理（Urysohn/Tychonoff 埋め込みの原型）の位相版。
本ノート RoyalRoad.ChapterVII.thm_VII_5_2（Mathlib eq_induced_by_maps_to_sierpinski を直接引用、Notes/ChapterVII.lean、lake build 済み）