Royal Road to Topology Chapter X Exercises
Chapter X 演習ログ
Section titled “Chapter X 演習ログ”状態: ⬜ 未着手 / 🟡 詰まり中 / ✅ 解決。🚩=要再訪。⭐=ゴール（測度論的確率統計）に効く問題。 X.10 Supplement の正式演習から、ベールのカテゴリー定理・関数的分離・Dini の定理という測度論的確率統計への直結度が高い5問を選別（X.10.1, X.10.2, X.10.3, X.10.8, X.10.9）。全問、書籍に解答が併載されている。解答は Phase G-2（issue #13）で完了（2026-07-04、全5問 ✅、🚩 なし）。
X.10. Supplement
Section titled “X.10. Supplement”Ex X.10.1 ⭐ ✅
Section titled “Ex X.10.1 ⭐ ✅”問題. 可算コンパクトな位相空間上の下半連続関数は、その下限（infimum）を実現する（値を取る）ことを示せ。カード: cards/topology/lsc-attains-infimum-countably-compact
解答（自然言語）. 方針: 下限に降りていく閾値列 $r_n\downarrow\inf f$ を取り、下半連続性で各レベル集合 ${f\le r_n}$ が閉であることを使い、Cantor 条件（Ex IX.5.11）で減少閉列の共通部分が空でないことから最小点を捕まえる。$X$ を可算コンパクト、$f$ を下半連続とする。
- 閾値列. $\inf_X f=:m\in[-\infty,\infty[$。狭義減少実数列 $(r_n)n$ で $\inf{r_n:n<\omega}=m$ かつ各 $r_n>m$ を取る（$m=-\infty$ でも $r_n\to-\infty$ で可）。各 $r_n>m=\inf f$ ゆえレベル集合 $L_n:={x:f(x)\le r_n}\neq\emptyset$。 - レベル集合は閉かつ減少. 下半連続関数の劣位集合 ${f\le r}$ は閉（cards/topology/semicontinuous-function／Cor X.2.2：${f>r}$ が開）。$r{n+1}<r_n$ より $L_{n+1}\subset L_n$、減少列。すべて空でない閉集合。
- Cantor 条件で最小点. $X$ 可算コンパクトゆえ cards/topology/cantor-condition-countably-compact（Ex IX.5.11）から $\bigcap_{n<\omega}L_n\neq\emptyset$。$x_0\in\bigcap_n L_n$ を取ると、すべての $n$ で $f(x_0)\le r_n$、$n\to\infty$ で $f(x_0)\le m=\inf_X f$。逆向きは $\inf$ の定義より $f(x_0)\ge m$。ゆえに $f(x_0)=\inf_X f$、下限を達成。∎
得た手筋. 「下限に降りるレベル集合の減少閉列 → Cantor 条件で共通点＝最小点」。連続性は要らず下半連続（劣位集合が閉）だけで足りるのが要点。古典的ワイエルシュトラスの最大値定理（コンパクト上の連続関数は最小値を取る）の半連続・可算コンパクト版で、コンパクト性を「減少閉列の非空交叉」（cards/topology/technique-descending-closed-sets）としてだけ使う。測度論の essential infimum・下極限の可測な達成点の位相的雛形。
Ex X.10.2 ⭐ ✅
Section titled “Ex X.10.2 ⭐ ✅”問題. $A_0$ と $A_1$ が関数的に分離される（functionally separated）のは、$\sup_{A_0} f < \inf_{A_1} f$ なる $f\in C$ が存在するとき、かつそのときに限ることを示せ。カード: cards/topology/functionally-separated-sets
解答（自然言語）. 方針: 定義（$A_0\subset{f=0},A_1\subset{f=1}$）から $\sup<\inf$ は自明。逆は「$\sup_{A_0}f<\inf_{A_1}f$ なる連続 $f$」を切断（$\vee,\wedge$）とアフィン正規化で $[0,1]$ に押し込み、$A_0$ で $0$・$A_1$ で $1$ に潰す。
- ($\Rightarrow$). $f\in C$ が $A_0\subset{f=0}$, $A_1\subset{f=1}$ を与えるなら $\sup_{A_0}f=0<1=\inf_{A_1}f$。
- ($\Leftarrow$). $a:=\sup_{A_0}f<\inf_{A_1}f=:b$ とする。連続関数を切断・平行移動・スケールする：
$$h:=\frac{1}{b-a}\bigl((f\vee a)\wedge b\bigr)-\frac{a}{b-a}.$$
$f\vee a,\ (f\vee a)\wedge b$ は連続（cards/topology/semicontinuous-function／連続関数は $\vee,\wedge$ で閉じる）、アフィン変換も連続なので $h\in C$。
- $x\in A_0$: $f(x)\le a$ ゆえ $(f(x)\vee a)=a$, $(a\wedge b)=a$、$h(x)=\frac{a-a}{b-a}=0$。
- $x\in A_1$: $f(x)\ge b$ ゆえ $(f(x)\vee a)=f(x)\ge b$, $(\cdot\wedge b)=b$、$h(x)=\frac{b-a}{b-a}=1$。 ゆえに $A_0\subset{h=0}$, $A_1\subset{h=1}$、$A_0,A_1$ は functionally separated。∎
得た手筋. 「連続関数を $\vee a,\wedge b$ で $[a,b]$ に切断 → アフィンで $[0,1]$ 正規化」の平坦化テンプレート。分離の「隙間 $a<b$」さえあれば、切断で $A_0,A_1$ の外側を潰し正規化で $0,1$ に貼り付けられる。$C$ が格子（$\vee,\wedge$ で閉じる）であることが鍵で、$A_0,A_1$ が関数的閉である必要はない（Lemma X.7.2 の「関数的閉集合の完全分離」より弱い一般の分離）。Urysohn 補題・Tietze 拡張（cards/topology/tietze-extension-theorem）で値域を $[0,1]$ に正規化する下ごしらえと同じ操作。
Ex X.10.3 ⭐ ✅
Section titled “Ex X.10.3 ⭐ ✅”問題. $\nu_-$ を実数直線上の下位相（lower topology）とする。収束 $\tau$ が位相であるのは、$\tau = R_{\nu_-}\tau$（$\nu_-$ に関する関数的始収束修正子）が成り立つとき、かつそのときに限ることを示せ。カード: cards/topology/lower-upper-topology
解答（自然言語）. 記号: $R_{\nu_-}\tau:=\bigvee_{f\in C(\tau,\nu_-)}f^-\nu_-$（$C(\tau,\nu_-)$ を連続にする最も粗い収束、cards/topology/functionally-initial-topology）。$$=$0$ は上 Sierpiński 位相。目標は $\tau$ 位相 $\iff\tau=R{\nu_-}\tau$。$R_{\nu_-}\tau$ は関数的始位相ゆえ常に位相（Lemma VII.3.7）なので、$\tau=R_{\nu_-}\tau$ なら $\tau$ は位相。逆に $\tau$ が位相のとき等号 $\tau=R_{\nu_-}\tau$ を両側不等式で示す。
- $\tau\ge R_{\nu_-}\tau$（常に成立）. 各 $f\in C(\tau,\nu_-)$ に対し $\tau\ge f^-\nu_-$（連続性の定義）、上限を取って $\tau\ge\bigvee_f f^-\nu_-=R_{\nu_-}\tau$。これは $\tau$ が位相かどうかに依らない。
- $R_{\nu_-}\tau\ge\tau$（$\tau$ が位相のとき）. 位相 $\tau$ は Sierpiński 立方体に $$$-始位相として表せる（cards/topology/thm-vii-5-2-sierpinski-initially-dense／$R_$\tau=\tau$）。各 $\tau$-閉集合 $F$ の特性関数 $\psi_F$（$\psi_F(x):=0\ (x\in F)$, $1\ (x\notin F)$；VII.5.1）は ${\psi_F<1}=F$ 閉ゆえ下半連続、すなわち $\psi_F\in C(\tau,\nu_-)$。ここで ${0,1}$ 上の $$$ は自然な単射 $j:{0,1}\hookrightarrow\mathbb{R}$ で $\nu_-$ に埋め込まれる（$\nu_-$-開 $]-\infty,1[$ の逆像が ${0}=$$-開）。よって $\psi_F^-(\nu_-)=\psi_F^-($)$。したがって $$R_{\nu_-}\tau=\bigvee_{f\in C(\tau,\nu_-)}f^-\nu_-\ \ge\ \bigvee_{F\in\mathcal{C}\tau}\psi_F^-(\nu-)=\bigvee_{F\in\mathcal{C}\tau}\psi_F^-($)=R$\tau=\tau.$$ - 両不等式より $\tau=R_{\nu_-}\tau$。∎ 得た手筋. 「下半連続な特性関数 $\psi_F\in C(\tau,\nu_-)$ が、Sierpiński 始位相 $R_$\tau=\tau$ を $\nu_-$ 始位相の中に埋め込む」。$$$（2点 Sierpiński）が $\nu_-$（実数の下位相）に $j:{0,1}\hookrightarrow\mathbb{R}$ で埋め込まれるので、位相の $$$-初期密度（Thm VII.5.2）がそのまま $\nu_-$-初期密度に格上げされ、$R_{\nu_-}\tau=\tau$ が出る。「関数的始位相＝実数値（半）連続関数の族が生成する位相」＝「位相であること」という位相の関数的特徴づけで、下半連続関数 $\iff C(\tau,\nu_-)$ という cards/topology/lower-upper-topology の視点が舞台。測度論では「可測性＝下半連続な指示関数の族で生成」に対応。
Ex X.10.8 ⭐ ✅
Section titled “Ex X.10.8 ⭐ ✅”問題. $f$ を実数直線上の無限回微分可能な実数値関数とし、各 $x\in\mathbb{R}$ に対してある $n<\omega$ が存在して $n$ 階導関数 $f^{(n)}(x)=0$ となるとする。このとき (1) ある開区間上で $f$ が多項式関数に一致すること、(2) $f$ が実数直線全体で多項式関数であること、を示せ（ベールのカテゴリー定理を用いる）。カード: cards/topology/baire-category-theorem
解答（自然言語）. 方針: 各 $x$ である導関数が消える → $\mathbb{R}$ は閉集合 $F_n:={f^{(n)}=0}$ の可算合併。ベール（cards/topology/baire-category-theorem Cor X.4.16）で内点を持つ $F_n$ が存在。(2) は「多項式でない点の集合 $L$」が完備距離化可能・孤立点なしと示し、再びベールで $L=\emptyset$ に追い込む。
- (1) 局所多項式. 各 $F_n:={x:f^{(n)}(x)=0}$ は閉（$f^{(n)}$ 連続）。仮定より $\mathbb{R}=\bigcup_{n<\omega}F_n$。$\mathbb{R}$ は完備距離化可能ゆえ Cor X.4.16（ベールの閉集合版）から、ある $n$ で $\operatorname{int}F_n\neq\emptyset$、すなわち $]a,b[\subset F_n$ で $f^{(n)}\equiv0$ on $]a,b[$。$f^{(n)}$ を $n$ 回積分すれば $f$ は $]a,b[$ 上で次数 $<n$ の多項式に一致。
- (2) 大域多項式（$L=\emptyset$ をベールで）. $\mathcal{J}:={f|J$ が多項式となる開区間 $J}$、$G:=\bigcup{J\in\mathcal{J}}J$（開）、$L:=\mathbb{R}\setminus G$（閉、ゆえ完備距離化可能）とおく。(1) の議論は任意の開区間に適用でき $G$ は稠密（どの開区間も多項式区間を含む）。
- $L$ は孤立点を持たない. もし $x\in L$ が $L$ の孤立点なら、$x$ の両側 $]a,x],[x,b[$ が $G$ に入り $f$ は両側で多項式。連続性から各 $m$ で $f^{(m)}$ が $]a,b[$ でつながり、ある $m$ で $f^{(m)}\equiv0$ on $]a,b[$、よって $]a,b[\in\mathcal{J}$、$x\in G$ で $x\notin L$——矛盾。ゆえ $L$ は孤立点なし。
- $L=\emptyset$. $L\neq\emptyset$ と仮定。$L$ は完備距離化可能空間（$\mathbb{R}$ の閉部分）。各 $x\in L$ である $f^{(n)}(x)=0$ ゆえ $L=\bigcup_n(F_n\cap L)$、各 $F_n\cap L$ は $L$-閉。ベール（Cor X.4.16 を $L$ に適用）から、ある $k$ と開区間 $]a,b[$ で $]a,b[\cap L\neq\emptyset$ かつ $f^{(k)}\equiv0$ on $]a,b[\cap L$。$G$ は $]a,b[\setminus L$ を覆うので、$]a,b[$ と交わる各 $J\in\mathcal{J}$ の端点は $]a,b[\cap L$ に属し、そこで $f^{(k)}=0$ が境界条件として伝播する。$J$ 上の多項式次数 $m$ が $m\le k$ なら $f^{(k)}\equiv0$ on $J$、$m>k$ なら端点での $0=f^{(k)}(x_J)=f^{(k+1)}(x_J)=\cdots$ を境界条件に $f^{(m)}$ を $m-k$ 回積分して $f^{(k)}\equiv0$ on $J$。ゆえ $]a,b[$ と交わるすべての $J$ で $f^{(k)}=0$、$G\cap]a,b[$ 上で $f^{(k)}=0$、$L\cap]a,b[$ 上でも $f^{(k)}=0$、連続性で $f^{(k)}\equiv0$ on $]a,b[$。すると $]a,b[\in\mathcal{J}$ で $]a,b[\cap L=\emptyset$——$]a,b[\cap L\neq\emptyset$ に矛盾。ゆえ $L=\emptyset$、$G=\mathbb{R}$。孤立点なしと $L=\emptyset$ より $f$ は連結な $\mathbb{R}$ 全体で単一の多項式（次数が区間ごとに一致；重なる多項式区間は係数一致）。∎ 得た手筋. ベールの二段使い：(1) $\mathbb{R}=\bigcup F_n$（閉）に Cor X.4.16 で局所多項式、(2) 例外集合 $L$（完備距離化可能・孤立点なし）にもう一度ベールを適用して $L=\emptyset$ へ追い込む「完全集合＋ベール ⟹ 空」の常套手筋。境界条件付きの積分で $f^{(k)}=0$ を隣接区間へ伝播させるのが接着の核。ベールのカテゴリー定理（cards/topology/baire-category-theorem）は「完備距離化可能空間は自分の中で meager にならない」ことの応用の典型で、$L$ の孤立点なし＝完全集合性が「$L$ 自身が自分の中で第二類」を保証する。→ cards/topology/technique-descending-closed-sets（可算合併＝双対的にベールで内点／共通点を捕まえる系譜）。
Ex X.10.9（Dini の定理） ⭐ ✅
Section titled “Ex X.10.9（Dini の定理） ⭐ ✅”問題. $\tau$ を $X$ 上の可算コンパクトな位相とする。増加列 ${f_n : n<\omega} \subset C(\tau,\nu)$ について、関数 $f(x):=\lim_\nu (f_n(x))_n \in C(\tau,\nu)$ が成り立つならば、$(f_n)_n$ は $f$ に一様収束することを示せ。カード: cards/topology/dini-theorem
解答（自然言語）. 方針: 誤差 $\varepsilon$ を固定し、「まだ $\varepsilon$ 追いつけていない点」の集合 $F_n$ が減少閉列で共通部分空になることを各点収束から言い、Cantor 条件（Ex IX.5.11）の対偶で有限段で消えることを引き出す。$\varepsilon>0$ を固定し $$F_n:={x\in X:f_n(x)\le f(x)-\varepsilon}={x:(f-f_n)(x)\ge\varepsilon}.$$
- $F_n$ は閉かつ減少. $f,f_n$ 連続ゆえ $f-f_n$ 連続、${f-f_n\ge\varepsilon}$ は閉。増加列 $f_n\le f_{n+1}$ より $f-f_{n+1}\le f-f_n$、よって $F_{n+1}\subset F_n$、減少閉列。
- 共通部分は空. 各 $x$ で $f_n(x)\uparrow f(x)$（増加各点収束）ゆえ、ある $n$ で $f(x)-f_n(x)<\varepsilon$、すなわち $x\notin F_n$。ゆえ $\bigcap_{n<\omega}F_n=\emptyset$。
- Cantor 条件の対偶で有限段消滅. $\tau$ 可算コンパクトゆえ cards/topology/cantor-condition-countably-compact（Ex IX.5.11）の対偶：空でない減少閉列は共通部分が非空——対偶を取れば「$\bigcap_n F_n=\emptyset$ なる減少閉列は、ある $n_0$ で $F_{n_0}=\emptyset$」。ゆえ $n_0$ 以降 $F_n=\emptyset$、すなわち $n\ge n_0$ で全点 $f(x)-f_n(x)<\varepsilon$。$f_n\le f$（増加各点収束）より $0\le f-f_n<\varepsilon$、$\sup_X|f-f_n|\le\varepsilon$。$\varepsilon$ 任意ゆえ $(f_n)_n$ は $f$ に一様収束。∎
得た手筋. 「各点収束＋単調性 → 誤差レベル集合 $F_n={f-f_n\ge\varepsilon}$ の減少閉列 → Cantor 条件（Ex IX.5.11）で有限段消滅 ⟹ 一様収束」。古典 Dini の定理が、減少閉列の共通部分（cards/topology/technique-descending-closed-sets）というただ一つの補題から一行で従う。単調性が「$F_n$ が減少」を、各点収束が「$\bigcap F_n=\emptyset$」を、可算コンパクト性が「有限段で消える」を担う三位一体。$[0,1]$ 上の平方根の一様近似（Lemma X.10.10）→ Stone–Weierstraß（cards/topology/stone-weierstrass-theorem）へ直結し、測度論の単調収束定理（各点単調 ⟹ 積分と極限の交換）と同じ「単調＋コンパクト性」の骨格。