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📐 Exercise X.10.1（可算コンパクト空間で下半連続関数は下限を達成）

  • 📐 Exercise X.10.1（可算コンパクト空間で下半連続関数は下限を達成） #Card
    • 下半連続関数が可算コンパクト空間で最小値を持つことの証明の骨子は。

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$f$ が cards/topology/semicontinuous-function（lower 半連続）、$X$ が可算コンパクトなら $f$ は $X$ 上で下限を達成する（$\exists x_0,\ f(x_0)=\inf_X f$）。

証明: $r_n\downarrow\inf_X f$（狭義減少）を取ると、各レベル集合 ${f\leq r_n}$ は Cor X.2.2 で閉、cards/topology/cantor-condition-countably-compact（Exercise IX.5.11 の Cantor 条件）から $\bigcap_n{f\leq r_n}\neq\emptyset$。その点 $x$ で $f(x)\leq r_n$ すべて、よって $f(x)=\inf_X f$。

古典的な「コンパクト集合上の連続関数は最大値・最小値を持つ」（ワイエルシュトラスの最大値定理）の半連続版・可算コンパクト版の一般化。測度論のエッセンシャル・インフィマム／下極限の議論の位相的雛形。