Royal Road to Topology Chapter VIII Exercises

Chapter VIII 演習ログ

状態: ⬜ 未着手 / 🟡 詰まり中 / ✅ 解決。🚩=要再訪。⭐=ゴール（測度論的確率統計）に効く問題。 第VIII章には正式な演習節がないため、本文中で証明が省略された命題・主張（“straightforward” / “readily proved” / 未証明のまま述べられた性質）から5問を選別。解答は Phase G-1（issue #12）で完了（2026-07-04、全5問 ✅、🚩 なし）。

VIII.1. Adherences

Cor VIII.1.10（別証明） ✅

問題. $f\in C(\xi,\tau)$ かつ $\mathcal{H}$ が集合族のとき、$x\in\operatorname{adh}\xi\mathcal{H} \implies f(x)\in\operatorname{adh}\tau f[\mathcal{H}]$ を示せ。本文では公式 (VIII.1.12) $\operatorname{adh}{f\xi}\mathcal{G}=f(\operatorname{adh}\xi f^-[\mathcal{G}])$ からの帰結として証明されているが、「直接的に（readily）」証明できるとも述べられている——公式を経由しない直接証明を与えよ。カード: cards/topology/cor-viii-1-10-continuity-preserves-adherence

解答（自然言語）. 方針: 族 adherence の定義 $\operatorname{adh}\xi\mathcal{H}=\bigcup{\mathcal{F}#\mathcal{H}}\lim_\xi\mathcal{F}$（cards/topology/family-adherence (VIII.1.1)）に立ち返り、$x$ を与える証人フィルター $\mathcal{F}$ を $f$ で押し出す。要となる補題は「mesh は像で保たれる」：$\mathcal{F}#\mathcal{H}\implies f[\mathcal{F}]#f[\mathcal{H}]$。

1. 証人の取り出し. $x\in\operatorname{adh}\xi\mathcal{H}$ なら、定義よりあるフィルター $\mathcal{F}$ で $\mathcal{F}#\mathcal{H}$（$\mathcal{F}$ の各元が $\mathcal{H}$ の各元と交わる）かつ $x\in\lim\xi\mathcal{F}$。
2. 連続性で極限を運ぶ. $f\in C(\xi,\tau)$ より（cards/topology/continuous-map）$x\in\lim_\xi\mathcal{F}\implies f(x)\in\lim_\tau f[\mathcal{F}]$。
3. mesh を像で保つ. $F\in\mathcal{F}$, $H\in\mathcal{H}$ を任意にとる。$\mathcal{F}#\mathcal{H}$ より $F\cap H\neq\emptyset$、点 $z\in F\cap H$ を選ぶと $f(z)\in f[F]\cap f[H]$（像は交わりを保つ向きに $f[F\cap H]\subset f[F]\cap f[H]$）。ゆえに $f[F]\cap f[H]\neq\emptyset$。$F,H$ は任意なので $f[\mathcal{F}]#f[\mathcal{H}]$。
4. adherence の定義に戻す. $f[\mathcal{F}]$ は $f[\mathcal{H}]$ と mesh し、$f(x)\in\lim_\tau f[\mathcal{F}]$。ゆえに $f(x)\in\bigcup_{\mathcal{G}#f[\mathcal{H}]}\lim_\tau\mathcal{G}=\operatorname{adh}_\tau f[\mathcal{H}]$。∎

得た手筋. 「証人フィルターを $f$ で押し出す」直接論法：adherence／limit／compact など「あるフィルターが存在して〜」型の主張は、そのフィルターを $f[\cdot]$ で像へ運び、(i) 連続性が $\lim$ を保存、(ii) $f[F\cap H]\subset f[F]\cap f[H]$ が mesh を保存、の2点で結論する。公式 (VIII.1.12) $\operatorname{adh}{f\xi}\mathcal{G}=f(\operatorname{adh}\xi f^-[\mathcal{G}])$ を暗記せずとも定義から即出る。この骨格は cards/topology/continuous-image-compact（Prop VIII.3.3）と全く同じ——本問はその「1点版・非 Hausdorff 版」下準備。→ cards/topology/technique-pushforward-filter（フィルターの押し出し）。

VIII.2. Covers and Inherences

Prop VIII.2.13 ✅

問題. $\mathcal{P}$ が集合 $A$ の $\xi$-pseudocover であるのは、$\lim_\xi \mathcal{U} \cap A = \emptyset$ がすべての超フィルター $\mathcal{U}\in\beta\mathcal{P}^c$ について成り立つとき、かつそのときに限ることを示せ（“straightforward” と述べられるのみで証明は省略）。カード: cards/topology/pseudocover

解答（自然言語）. 記号の確認: $\mathcal{P}^c:={P^c:P\in\mathcal{P}}$。$\beta\mathcal{P}^c$ は「$\mathcal{P}^c$ を細分する超フィルター全体」＝ $\mathcal{P}^c$ の各元を含む超フィルター。超フィルター $\mathcal{U}$ について、$\mathcal{U}\in\beta\mathcal{P}^c\iff$ すべての $P\in\mathcal{P}$ で $P^c\in\mathcal{U}\iff$ すべての $P\in\mathcal{P}$ で $P\notin\mathcal{U}$（超フィルターは $P$ か $P^c$ の一方をちょうど含む）$\iff\mathcal{U}\cap\mathcal{P}=\emptyset$。 pseudocover の定義（cards/topology/pseudocover Def VIII.2.11）: $\mathcal{P}$ が $A$ の pseudocover $\iff$ $A$ の点に収束する任意の超フィルターが $\mathcal{P}$ の元を含む、すなわち $$\forall,\text{超フィルター }\mathcal{U}:\quad \lim{}\xi\mathcal{U}\cap A\neq\emptyset \implies \mathcal{U}\cap\mathcal{P}\neq\emptyset.\tag{$\ast$}$$ これの**対偶（$\mathcal{U}$ ごと）**をとる： $$\mathcal{U}\cap\mathcal{P}=\emptyset \implies \lim{}\xi\mathcal{U}\cap A=\emptyset.$$ 左辺の条件 $\mathcal{U}\cap\mathcal{P}=\emptyset$ は上で見た通り $\mathcal{U}\in\beta\mathcal{P}^c$ と同値。したがって ($\ast$) は $$\forall,\mathcal{U}\in\beta\mathcal{P}^c:\quad \lim{}_\xi\mathcal{U}\cap A=\emptyset$$ と同値。これがちょうど示すべき条件である。∎

補足（両向きの明示）.

• ($\Rightarrow$) $\mathcal{P}$ が pseudocover とする。$\mathcal{U}\in\beta\mathcal{P}^c$ をとると $\mathcal{U}\cap\mathcal{P}=\emptyset$。もし $\lim_\xi\mathcal{U}\cap A\neq\emptyset$ なら ($\ast$) より $\mathcal{U}\cap\mathcal{P}\neq\emptyset$ で矛盾。ゆえに $\lim_\xi\mathcal{U}\cap A=\emptyset$。
• ($\Leftarrow$) 逆に条件が成り立つとする。$A$ の点に収束する超フィルター $\mathcal{U}$（$\lim_\xi\mathcal{U}\cap A\neq\emptyset$）をとる。もし $\mathcal{U}\cap\mathcal{P}=\emptyset$ なら $\mathcal{U}\in\beta\mathcal{P}^c$ で仮定から $\lim_\xi\mathcal{U}\cap A=\emptyset$、矛盾。ゆえに $\mathcal{U}\cap\mathcal{P}\neq\emptyset$、すなわち $\mathcal{P}$ は pseudocover。

得た手筋. 「$\mathcal{U}\cap\mathcal{P}=\emptyset\iff\mathcal{U}\in\beta\mathcal{P}^c$」という超フィルターの二分律が全て。超フィルターは各集合 $P$ について「$P$ を含む」か「$P^c$ を含む」の一方に必ず倒れるので、「$\mathcal{P}$ の元を1つも含まない超フィルター」＝「$\mathcal{P}^c$ を丸ごと含む超フィルター」。あとは pseudocover の定義の対偶をとるだけ。被覆・pseudocover の議論を超フィルター上の命題に翻訳する定石で、cards/topology/lem-viii-2-3-cover-equivalences（cover の adherence 表示）と同系統。

VIII.3. Compact Convergences

可算コンパクト性の連続写像による保存 ⭐ ✅

問題. $f\in C(\xi,\tau)$ かつ $A$ が $\xi$-可算コンパクトならば、$f(A)$ は $\tau$-可算コンパクトであることを示せ（本文は「可算コンパクト性は連続写像で保存される」とだけ述べ証明を与えていない。Proposition VIII.3.3（コンパクト性の保存）の議論を可算基フィルターに制限して再現せよ）。カード: cards/topology/countably-compact

解答（自然言語）. 使う定義（cards/topology/countably-compact Def VIII.3.10）: $A$ が $\xi$-可算コンパクト $\iff$ 可算基を持つ任意のフィルター $\mathcal{H}$ で $A\in\mathcal{H}^#$（$\mathcal{H}$ が $A$ と mesh）なら $\operatorname{adh}_\xi\mathcal{H}\cap A\neq\emptyset$。$B:=f(A)$ が $\tau$-可算コンパクトを示す。

1. 可算基フィルターの用意. $\mathcal{G}$ を $\tau$ 上の可算基を持つフィルターで $B\in\mathcal{G}^#$（各 $G\in\mathcal{G}$ が $B=f(A)$ と交わる）とする。${G_n:n<\omega}$ をその基とする。
2. 逆像フィルターへ引き戻す（可算基が保たれる）. $\mathcal{H}:=f^{-1}[\mathcal{G}]$、すなわち ${f^{-1}(G_n):n<\omega}$ を基とするフィルター。逆像は可算基を可算基に写す（可算性が保たれるのがこの証明の肝）。また $G_n\cap f(A)\neq\emptyset$ なら、その点 $y$ の原像 $x\in A$ で $f(x)=y\in G_n$、つまり $x\in f^{-1}(G_n)\cap A$。ゆえに各基元が $A$ と交わり、$A\in\mathcal{H}^#$。
3. 可算コンパクト性を適用. $\mathcal{H}$ は可算基を持ち $A$ と mesh するので、$A$ の $\xi$-可算コンパクト性から $\operatorname{adh}\xi\mathcal{H}\cap A\neq\emptyset$。点 $x_0\in\operatorname{adh}\xi\mathcal{H}\cap A$ をとる。
4. 連続性で像へ運ぶ. cards/topology/cor-viii-1-10-continuity-preserves-adherence（前問 Cor VIII.1.10）により $x_0\in\operatorname{adh}\xi\mathcal{H}\implies f(x_0)\in\operatorname{adh}\tau f[\mathcal{H}]$。さらに $f[\mathcal{H}]=f[f^{-1}[\mathcal{G}]]\geq\mathcal{G}$（像フィルターは元の $\mathcal{G}$ を細分：$f[f^{-1}(G)]\subset G$ より $G\in f[\mathcal{H}]$）。adherence は細かい族ほど小さい（cards/topology/family-adherence-properties (VIII.1.3)、$f[\mathcal{H}]\geq\mathcal{G}\Rightarrow\operatorname{adh}\tau f[\mathcal{H}]\subset\operatorname{adh}\tau\mathcal{G}$）ので $f(x_0)\in\operatorname{adh}_\tau\mathcal{G}$。
5. 結論. $f(x_0)\in f(A)=B$ かつ $f(x_0)\in\operatorname{adh}\tau\mathcal{G}$、ゆえに $\operatorname{adh}\tau\mathcal{G}\cap B\neq\emptyset$。$\mathcal{G}$ は任意の可算基フィルターだったから $B=f(A)$ は $\tau$-可算コンパクト。∎

得た手筋. Prop VIII.3.3（コンパクト性の保存）の骨格「逆像で引き戻す → adherence 点をとる → 連続性で像へ押す」を、フィルターのクラス（ここでは可算基）ごと保つように制限した版。決め手は $f^{-1}$ が可算基を可算基に写すこと（可算性が逆像で不変）——これにより「有限／可算基／可算完備」の被覆階層のどの段でも同じ証明が回る。次問 Lindelöf も基のクラスを「可算完備」に替えるだけ。→ cards/topology/technique-pushforward-filter。

Lindelöf性の連続写像による保存 ⭐ ✅

問題. $f\in C(\xi,\tau)$ かつ $A$ が $\xi$-Lindelöf ならば、$f(A)$ は $\tau$-Lindelöf であることを示せ（本文は「Lindelöf性は連続写像で保存される」とだけ述べ証明を与えていない。countable intersection property を持つフィルターに制限して Proposition VIII.3.3 型の議論を再現せよ）。カード: cards/topology/lindelof-property

解答（自然言語）. 使う定義（cards/topology/lindelof-property Def VIII.3.12）: $A$ が $\xi$-Lindelöf $\iff$ 可算完備（可算個のメンバーの交叉が再びメンバー、＝countable intersection property）な任意のフィルター $\mathcal{H}$ で $A\in\mathcal{H}^#$ なら $\operatorname{adh}_\xi\mathcal{H}\cap A\neq\emptyset$。証明の骨格は前問と同一で、フィルターのクラスを「可算基」から「可算完備」に差し替えるだけ。$B:=f(A)$ が $\tau$-Lindelöf を示す。

1. 可算完備フィルターの用意. $\mathcal{G}$ を $\tau$ 上の可算完備フィルターで $B\in\mathcal{G}^#$ とする。
2. 逆像へ引き戻す（可算完備性が保たれる）. $\mathcal{H}:=f^{-1}[\mathcal{G}]$（${f^{-1}(G):G\in\mathcal{G}}$ が生成するフィルター）。逆像は交叉と可換：可算個 $G_n\in\mathcal{G}$ に対し $\bigcap_n f^{-1}(G_n)=f^{-1}\bigl(\bigcap_n G_n\bigr)$、右辺の $\bigcap_n G_n\in\mathcal{G}$（$\mathcal{G}$ 可算完備）ゆえ $\mathcal{H}$ の元。すなわち $\mathcal{H}$ も可算完備（これが可算基のときと同じく肝心）。前問と同じく $A\in\mathcal{H}^#$（各 $G\in\mathcal{G}$ が $f(A)$ と交わるなら $f^{-1}(G)$ が $A$ と交わる）。
3. Lindelöf 性を適用. $\mathcal{H}$ は可算完備で $A$ と mesh するので、$A$ の $\xi$-Lindelöf 性から点 $x_0\in\operatorname{adh}_\xi\mathcal{H}\cap A$ が存在。
4. 連続性で像へ運ぶ. cards/topology/cor-viii-1-10-continuity-preserves-adherence より $f(x_0)\in\operatorname{adh}\tau f[\mathcal{H}]\subset\operatorname{adh}\tau\mathcal{G}$（$f[\mathcal{H}]\geq\mathcal{G}$ と adherence の反単調性 (VIII.1.3)、前問と同じ）。
5. 結論. $f(x_0)\in f(A)=B$ かつ $f(x_0)\in\operatorname{adh}\tau\mathcal{G}$、ゆえに $\operatorname{adh}\tau\mathcal{G}\cap B\neq\emptyset$。$\mathcal{G}$ は任意ゆえ $f(A)$ は $\tau$-Lindelöf。∎

得た手筋. 前問と文字通り同一の証明骨格で、効くフィルタークラスを可算基→可算完備に取り替えるだけ。決め手は再び $f^{-1}$ がクラスを保つこと：逆像は可算交叉と可換なので可算完備性が引き戻しで不変。ここから「compact（全フィルター）／countably compact（可算基）／Lindelöf（可算完備）はいずれも連続写像で保存される」が1つのテンプレートに統一される——保存されるかどうかは「$f^{-1}$ がそのフィルタークラスを保つか」に尽きる（積で保存されない事実との対比：積では逆像1本で済まない）。→ cards/topology/technique-pushforward-filter。

Cor VIII.3.18 ⭐ ✅

問題. Remark VIII.3.17（$A\subset X\subset Y$、$\xi=\tau|_X$ のとき、$A$ が $\tau$-コンパクトであることと $\xi$-コンパクトであることは同値）から、Corollary VIII.3.18「コンパクト性は absolute な性質である」（$A\in P(\xi)$ かつ $\xi|_A=\theta|_A$ なら $A\in P(\theta)$）を導け。本文はこの帰結を「したがって」の一言で済ませている。カード: cards/topology/compactness-absolute

解答（自然言語）. 要点: $A$ のコンパクト性は「部分収束 $\xi|_A$ がコンパクト」と定義される（cards/topology/compact-convergence-definition：$A$ が $\xi$-compact $:\iff\xi|_A$ がコンパクト）——つまり周囲空間 $\xi$ の情報は $A$ への制限 $\xi|_A$ を通してしか効かない。これを Remark VIII.3.17 が保証する。

1. コンパクト性は制限のみに依存. 定義そのものにより、$A$ が $\xi$-compact $\iff\xi|_A$ が（$A$ 上の収束として）コンパクト。すなわち $A\in P(\xi)$ は $\xi|_A$ だけで決まる述語である。（Remark VIII.3.17 はこの原理の具体形：$X\subset Y$、$\xi=\tau|_X$ のとき $A\subset X$ について $\xi|_A=(\tau|_X)|_A=\tau|_A$ なので $A$ の $\xi$-compact と $\tau$-compact が一致する。制限の合成 $(\tau|_X)|_A=\tau|_A$ が鍵。）
2. 仮定を代入. いま $A\in P(\xi)$（$A$ は $\xi$-compact）かつ $\xi|_A=\theta|_A$ とする。ステップ1より $A$ が $\xi$-compact $\iff\xi|_A$ がコンパクト。仮定 $\xi|_A=\theta|_A$ から $\xi|_A$ がコンパクト $\iff\theta|_A$ がコンパクト。再びステップ1（今度は $\theta$ について）より $\theta|_A$ がコンパクト $\iff A$ が $\theta$-compact。
3. 結論. 鎖をつなぐと $A\in P(\xi)\iff\xi|_A$ compact $\iff\theta|_A$ compact $\iff A\in P(\theta)$。ゆえに $A\in P(\xi)\Rightarrow A\in P(\theta)$、すなわちコンパクト性は absolute。∎

得た手筋. 「性質が部分収束 $\xi|_A$ のみで決まる ⟹ その性質は absolute」という一撃。証明の実体は制限の推移律 $(\tau|_X)|_A=\tau|_A$ と、コンパクト性の定義が「$A$ 上の内在的な述語（$\xi|_A$ の関数）」であること、この2点だけ。この論法は「$A$ 上の相対位相しか使わない性質」（コンパクト・連結・可算コンパクト・Lindelöf 等の内在的性質）すべてが absolute だと一括で言える——周囲空間に埋め込み直しても相対位相が同じなら性質は不変。次章以降でコンパクト部分集合を周囲空間を気にせず扱える根拠（cards/topology/compactness-absolute）。測度論では「部分 $\sigma$-代数への制限だけで決まる可測性・完備性」が同じ absolute 性を持つ。