📐 (VIII.1.2)–(VIII.1.4)（族 adherence の基本性質）
- 📐 (VIII.1.2)–(VIII.1.4)（族 adherence の基本性質） #Card
- $\operatorname{adh}_\xi \mathcal{A}$ が満たす基本3性質（Prop VI.2.4 の族版）は。
$$\operatorname{adh}\xi 2^X = \emptyset \tag{VIII.1.2}$$ $$\mathcal{A} \leq \mathcal{B} \implies \operatorname{adh}\xi\mathcal{A} \supset \operatorname{adh}\xi\mathcal{B} \tag{VIII.1.3}$$ $$\operatorname{adh}\xi(\mathcal{A} \cap \mathcal{B}) = \operatorname{adh}\xi\mathcal{A} \cup \operatorname{adh}\xi\mathcal{B} \tag{VIII.1.4}$$
（$\mathcal{A} \leq \mathcal{B}$ は「$\mathcal{A}$ が $\mathcal{B}$ より粗い」の順序、族が細かいほど mesh する相手が減り adherence が増える向き。(VIII.1.4) は ${A}^\uparrow \cap {B}^\uparrow = {A\cup B}^\uparrow$ から Prop VI.2.4 (d) を一般化。）
注意: $\operatorname{adh}\xi(\mathcal{A}\vee\mathcal{B}) \subset \operatorname{adh}\xi\mathcal{A} \cap \operatorname{adh}_\xi\mathcal{B}$ は一般に逆向きが成り立たない（Remark VIII.1.1）。