Royal Road to Topology Chapter III

Chapter 3: Convergence of Filters

「フィルターが点に収束する」という関係そのものを公理化する章。収束 (convergence) はこの本の基礎言語で、位相 (topology) はその特別な場合として第VII章で現れる。前位相 (pretopology)・prime 収束・距離化可能性がここで導入される。

数学的意味（原著より）

III.1 冒頭

空集合でない集合 $X$ と、$X$ 上の proper filter と点の間の関係 $\xi \subset \mathbb{F}X \times X$ を考える。$(\mathcal{F}, x) \in \xi$、すなわち $x \in \lim_\xi \mathcal{F}$ のとき、$x$ を $\mathcal{F}$ の $\xi$-limit という。isotone（$\mathcal{F}_0 \subset \mathcal{F}1 \implies \lim\xi \mathcal{F}0 \subset \lim\xi \mathcal{F}1$）を満たす関係を preconvergence、さらに centered（各 $x$ について $x \in \lim\xi x^\uparrow$）を満たす preconvergence を convergence と呼ぶ。対 $(X, \xi)$ を convergence space と呼ぶ。

出典: refs/math/topology/royal-road-to-topology/pdfs/chp3-2024-convergence-of-filters.pdf p.35–36

四つの基本 Example の対比

与えられた集合上の最も単純な収束は離散収束 $\iota$ と混沌収束 $o$ である。

$\iota$（Example III.1.1）: $x \in \lim_\iota \mathcal{F}$ なら $\mathcal{F} = x^\uparrow$——各点 $x$ に収束する filter は主 ultrafilter のみ
$o$（Example III.1.2）: 各 proper filter が各点に $o$-収束——antidiscrete とも呼ぶ
$\sigma_\mathbb{R}$（Example III.1.3）: 実数列の古典的収束に基づく——$\varphi \in \mathbb{R}^\mathbb{N}$ が $x$ に収束し $\varphi[(\mathbb{N})0] \subset \mathcal{F}$ なる列が存在するとき $x \in \lim{\sigma_\mathbb{R}} \mathcal{F}$
$\nu_\mathbb{R}$（Example III.1.4）: 各 $\varepsilon > 0$ について $]x - \varepsilon, x + \varepsilon[ \in \mathcal{F}$ のとき $x \in \lim_{\nu_\mathbb{R}} \mathcal{F}$

$\iota$ と $o$ は finitely stable。$\sigma_\mathbb{R}$ の有限安定性は「列型 filter の有限 inf が列型」から従う。$\nu_\mathbb{R}$ も finitely stable である。

出典: p.36–37

近傍系フィルターと前位相の文脈

近傍系フィルター $V_\xi(x) := \bigwedge \xi^-(x)$ は、$x$ に $\xi$-収束するすべての filter の infimum である。近傍系フィルターは必ずしも $x$ に $\xi$-収束するとは限らない。

Example III.1.9: $\sigma_\mathbb{R}$ の $V_{\sigma_\mathbb{R}}(x)$ は ${]x - \varepsilon, x + \varepsilon[: \varepsilon > 0}$ で生成されるが、Example II.2.23 により列型ではない。よって $x \notin \lim_{\sigma_\mathbb{R}} V_{\sigma_\mathbb{R}}(x)$。一方 $\nu_\mathbb{R}$ は pretopology で $V_{\nu_\mathbb{R}}(x)$ は $x$ に収束する。$\sigma_\mathbb{R}$ は pretopology ではない。付記: $V_{\sigma_\mathbb{R}}(x) = V_{\nu_\mathbb{R}}(x)$ であるにもかかわらず、二つの収束は異なる——同じ近傍系 filter を持ちながら収束として区別される最初の例である。収束 $\xi$ が pretopology とは、各 $x$ について $\xi^-(x)$ が coarsest filter を持つこと（Definition III.1.10）。これは $x \in \lim_\xi V_\xi(x)$ と同値（Proposition III.1.11）。離散・混沌・$\nu_\mathbb{R}$ は pretopology；$\sigma_\mathbb{R}$ は pretopology でない。 > 出典: p.37–38 --- ## III.1. The Concept of Limit - cards/topology/convergence

III.2. A Pointwise Perspective

III.3. Order on Convergences

III.4. Prime Convergences

III.5. Finite Convergences

III.6. Metrizable Convergences

III.7. Supplement

章の背骨

[!IMPORTANT] 収束のヒエラルキー $$\text{metrizable} \subsetneq \text{pretopology} \subsetneq \text{finitely stable} \subsetneq \text{convergence}$$ 各階層を分ける標準反例:

階層の境界反例
前位相だが距離化不可補有限収束（$T_1$ 非 Hausdorff）、Sierpiński 前位相
有限安定だが前位相でない $\sigma_\mathbb{R}$（近傍系フィルターが収束しない）、sequential fan
有限安定でないウルトラフィルター修正 $M\xi$（$\xi \neq M\xi$）、Example III.1.7

階層の境界	反例
前位相だが距離化不可	補有限収束（$T_1$ 非 Hausdorff）、Sierpiński 前位相
有限安定だが前位相でない	$\sigma_\mathbb{R}$（近傍系フィルターが収束しない）、sequential fan
有限安定でない	ウルトラフィルター修正 $M\xi$（$\xi \neq M\xi$）、Example III.1.7

[!NOTE] 本書 ↔ 第VII章への橋 第III章で公理化した収束のうち、pretopology（各点の vicinity filter が収束する）のさらに特別な場合が位相——adherence が冪等な前位相（Definition VII.3.1）。Preface p.vii どおり、位相空間は収束空間の特別な場合として 20_Literature/royal_road_to_topology/chapter7 で定義される。$\sigma_\mathbb{R}$ が pretopology でない例（Example III.1.9）は、列型収束が位相で記述しきれないことの最初の証拠。

[!NOTE] 本書 ↔ Mathlib 規約ブリッジ（収束編） 一般の convergence space は Mathlib に無い。位相の場合の翻訳:

本書 Mathlib
$x \in \lim_\xi \mathcal{F}$ F ≤ 𝓝 x
$V_\xi(x)$（近傍系フィルター） 𝓝 x
$\zeta \geq \xi$（$\zeta$ が finer） TopologicalSpace の順序で ζ ≤ ξ
離散 $\iota$ = 最細 ⊥ = 離散位相（Mathlib は順序が逆）
混沌 $o$ = 最粗 ⊤ = 密着位相

本書	Mathlib
$x \in \lim_\xi \mathcal{F}$	`F ≤ 𝓝 x`
$V_\xi(x)$（近傍系フィルター）	`𝓝 x`
$\zeta \geq \xi$（$\zeta$ が finer）	`TopologicalSpace` の順序で `ζ ≤ ξ`
離散 $\iota$ = 最細	`⊥` = 離散位相（Mathlib は順序が逆）
混沌 $o$ = 最粗	`⊤` = 密着位相

測度論への視線: $\sigma_\mathbb{R}$ vs $\nu_\mathbb{R}$ の分離（同じ近傍系フィルターを持つのに収束として異なる）は、「列型収束は位相で記述しきれない」ことの最初の証拠。測度収束・概収束の関係（概収束は距離化不可能だが列型収束としては定義できる）を扱う際の原型になる。
前位相の個数: $n$ 点集合上に $2^{(n-1)n}$ 個（3 点で 64 個、同相を除いて 16 類）。
演習: Exercise III.7.1（$V_{\sigma_\mathbb{R}}(x)$ の基底）、III.7.2（$$0 \vee $1 = \iota$, $$0 \wedge $1 = o$）、III.7.3（$\varsigma+ \wedge \varsigma- = \nu\mathbb{R}$, $\varsigma+ \vee \varsigma_- = \iota$）、III.7.4（無理数の $\nu_\mathbb{R}$-稠密性）は解答付き。III.7.5（(III.6.8) の証明）は書籍未解答だが自力証明済み ✅（exercises/chapter3.md 参照）。