Proposition III.4.4 (prime 分解)
- Proposition III.4.4 (prime 分解) #Card
- 任意の収束は prime 収束からどう再構成されるか。
Each convergence is an infimum of prime convergences.
証明の骨子. 収束 $\theta$ と各 $x \in |\theta|$ に対し prime 収束 $\theta_x$ を「$x$ では $\theta$ と同じ、他点は離散」で定める: $$\theta_x^-(x) := \theta^-(x), \qquad \theta_x^-(y) := {y^\uparrow}\ (y \neq x).$$
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各 $\theta_x$ は prime: $y \neq x$ の点はすべて孤立（$\theta_x^-(y) = {y^\uparrow}$、cards/topology/isolated-point）ゆえ非孤立点は高々 $x$ の 1 つ。よって prime（cards/topology/prime-convergence）。
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$\theta = \bigwedge_x \theta_x$: infimum の極限は和 $\lim_{\bigwedge_x \theta_x}\mathcal{F} = \bigcup_x \lim_{\theta_x}\mathcal{F}$（cards/topology/prop-iii-3-7）。
- ($\supset$) $z \in \lim_{\theta_z}\mathcal{F} = \lim_\theta \mathcal{F}$ ゆえ $\lim_\theta\mathcal{F} \subset$ 和。
- ($\subset$) $z \in \lim_{\theta_x}\mathcal{F}$ とする。$x = z$ なら $z \in \lim_\theta\mathcal{F}$。$x \neq z$ なら $z$ は $\theta_x$ で孤立ゆえ $\mathcal{F} = z^\uparrow$、(centered) から $z \in \lim_\theta z^\uparrow = \lim_\theta\mathcal{F}$。 よって和 $= \lim_\theta\mathcal{F}$、すなわち $\theta = \bigwedge_x \theta_x$。∎
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さらに各 prime convergence は pavement が高々 2 枚の prime convergence たちに分解できる（sequential fan、Example III.4.7）。有限安定収束は prime pretopology たちに分解できる（Proposition VI.5.3 予告）。