Proposition III.3.7 (収束の完備束構造)
- Proposition III.3.7 (収束の完備束構造) #Card
- $X$ 上の収束の空でない集合 $\Xi$ の sup / inf はどう与えられるか。
The supremum and the infimum exist for every non-empty set $\Xi$ of convergences on $X$, namely $$\lim_{\bigvee \Xi} \mathcal{F} = \bigcap_{\xi \in \Xi} \lim_\xi \mathcal{F}, \qquad \lim_{\bigwedge \Xi} \mathcal{F} = \bigcup_{\xi \in \Xi} \lim_\xi \mathcal{F}.$$
- 極限集合の共通部分・和がそのまま収束の公理を満たすことがポイント。$\mathbb{I}X$ は（$\iota$ を最大、$o$ を最小とする）完備束。
- Hausdorff は sup で保存されるが inf では保存されない；free は sup・inf の両方で保存される（cards/topology/lem-iii-3-9）。
- 例（Example III.3.8）: $\nu_x$（$x$ でのみ標準収束、他は離散）について $\bigwedge_{x \in \mathbb{R}} \nu_x = \nu$, $\bigvee_{x \in \mathbb{R}} \nu_x = \iota$。
証明の骨子. 順序は「finer $\iff$ 極限集合が小さい」（$\zeta \geq \xi \iff \forall \mathcal{F},\ \lim_\zeta \mathcal{F} \subset \lim_\xi \mathcal{F}$、cards/topology/order-on-convergences）。
- 公理の確認: $\lim_{\bigvee\Xi} \mathcal{F} := \bigcap_{\xi} \lim_\xi \mathcal{F}$ と $\lim_{\bigwedge\Xi} \mathcal{F} := \bigcup_{\xi} \lim_\xi \mathcal{F}$ が収束の公理を満たす。(centered): 各 $\xi$ で $x \in \lim_\xi x^\uparrow$ ゆえ交わり・和のどちらにも $x$ が入る。(isotone): $\mathcal{F} \subset \mathcal{G}$（$\mathcal{G}$ finer）なら各 $\xi$ で $\lim_\xi \mathcal{F} \subset \lim_\xi \mathcal{G}$、これは交わり・和で保たれる。
- supremum: $\bigvee\Xi$ は各 $\xi \in \Xi$ を細分する（極限が $\bigcap \subset \lim_\xi$）ので上界。逆に $\zeta$ が全 $\xi$ の上界なら各 $\mathcal{F}$ で $\lim_\zeta \mathcal{F} \subset \lim_\xi \mathcal{F}$、よって $\lim_\zeta \mathcal{F} \subset \bigcap_\xi \lim_\xi \mathcal{F} = \lim_{\bigvee\Xi}\mathcal{F}$、すなわち $\zeta \geq \bigvee\Xi$。ゆえに最小上界。
- infimum: 双対。$\bigcup_\xi \lim_\xi \mathcal{F} \supset \lim_\xi \mathcal{F}$ より下界、任意の下界 $\zeta$ は $\lim_\zeta \mathcal{F} \supset \lim_\xi \mathcal{F}$ を全 $\xi$ で満たすので $\lim_\zeta \mathcal{F} \supset \bigcup_\xi \lim_\xi \mathcal{F}$、最大下界。∎
これで $(\mathbb{I}X, \geq)$ は完備束（$\iota$ 最大・$o$ 最小、cards/topology/prop-iii-3-2）。