Lemma III.3.9 (自由収束と sup / inf)
- Lemma III.3.9 (自由収束と sup / inf) #Card
- 自由 ($T_1$) 収束の族の sup・inf、および最細・最粗の自由収束。
The supremum and the infimum of each non-empty set of free (alias $T_1$) convergences is free. The finest free convergence on a set $X$ is the discrete convergence $\iota_X$, and the coarsest free convergence on $X$ is the cofinite convergence of $X$（cards/topology/cofinite-convergence）.
証明の骨子. 自由性は $\lim_\xi x^\uparrow \subset {x}$（cards/topology/free-convergence-t1）。sup / inf の極限は交わり・和で与えられる（cards/topology/prop-iii-3-7）。
- sup が自由: $\lim_{\bigvee\Xi} x^\uparrow = \bigcap_{\xi \in \Xi} \lim_\xi x^\uparrow \subset \lim_{\xi_0} x^\uparrow \subset {x}$（任意の $\xi_0 \in \Xi$ を一つ選ぶ）。
- inf が自由: $\lim_{\bigwedge\Xi} x^\uparrow = \bigcup_{\xi \in \Xi} \lim_\xi x^\uparrow$。各項が $\subset {x}$ ゆえ和も $\subset {x}$。
- 最細の自由収束は $\iota_X$: 離散収束は自由（$\lim_\iota x^\uparrow = {x}$）かつ全収束中で最細（cards/topology/prop-iii-3-2）ゆえ自由収束の中でも最細。
- 最粗の自由収束は補有限収束: 補有限収束 $\theta$（cards/topology/cofinite-convergence）は前位相かつ自由。これが最粗であることは、自由収束全体の infimum が $\theta$ に一致することによる。前段で inf は自由なので $\bigwedge{\text{free}}$ も自由、あとはそれが $\theta$ を細分しないこと（すなわち $\theta \geq \bigwedge{\text{free}}$ でなく等号）を見る。自由性は主フィルター $x^\uparrow$ の極限のみを縛るが、(isotone) を介して一般のフィルターにも波及する: $x \in \lim_\xi \mathcal{F}$ かつ $\xi$ 自由なら $\operatorname{ker}\mathcal{F} \subset {x}$（cards/topology/prop-iii-1-14）——$y \in \operatorname{ker}\mathcal{F}$, $y\neq x$ だと $\mathcal{F} \subset y^\uparrow$ から (isotone) で $x \in \lim_\xi y^\uparrow$ となり自由性に反するため。この必要条件 $\operatorname{ker}\mathcal{F}\subset{x}$ を「許す限り最大に」実現するのが補有限収束の極限規則 $x \in \lim_\theta \mathcal{F} \iff \mathcal{F} \supset (X)_0 \wedge x^\uparrow$ であり、これが自由収束の族の infimum を与える。∎
対比: Hausdorff は sup では保存されるが、（2 つの）Hausdorff 収束の inf は Hausdorff とは限らない（inf で極限集合が和になり一意性が壊れうる）。