Proposition III.1.14 (自由収束の核による特徴づけ)
- Proposition III.1.14 (自由収束の核による特徴づけ) #Card
- $T_1$（自由）収束の $\operatorname{ker}$ による言い換え。
A convergence $\xi$ is free (alias $T_1$) if and only if $x \in \lim_\xi \mathcal{F}$ implies $\operatorname{ker} \mathcal{F} \subset {x}$.
証明の骨子. 核は $\operatorname{ker}\mathcal{F} = \bigcap_{F \in \mathcal{F}} F$。鍵となる同値は「$x \in \operatorname{ker}\mathcal{F} \iff \mathcal{F} \subset x^\uparrow$（$x^\uparrow$ が $\mathcal{F}$ を細分）」——$x$ が全ての $F \in \mathcal{F}$ に属することと、全ての $F$ が主フィルター $x^\uparrow$ の元であることは同値。
- ($\Leftarrow$) 対偶で示す。$\xi$ が自由でない、すなわちある $x$ で $x_0 \in \lim_\xi x^\uparrow$ かつ $x_0 \neq x$（cards/topology/free-convergence-t1）とする。$x \in \operatorname{ker} x^\uparrow$ だが $x \neq x_0$ なので $\operatorname{ker} x^\uparrow \not\subset {x_0}$。$\mathcal{F} = x^\uparrow$ が反例。
- ($\Rightarrow$) $\xi$ を自由とし、$x_0 \in \lim_\xi \mathcal{F}$、$x \in \operatorname{ker}\mathcal{F}$ とする。上の同値から $\mathcal{F} \subset x^\uparrow$、よって (isotone) より $x_0 \in \lim_\xi \mathcal{F} \subset \lim_\xi x^\uparrow$。自由性 $\lim_\xi x^\uparrow \subset {x}$ から $x_0 = x$。ゆえに $\operatorname{ker}\mathcal{F} \subset {x_0}$。∎