Royal Road to Topology Chapter I Exercises

Chapter I 演習ログ

状態: ⬜ 未着手 / 🟡 詰まり中 / ✅ 解決。🚩=要再訪。⭐=ゴール（測度論的確率統計）に効く問題。 第I章には正式な演習節がないため、本文中で証明が省略された命題（“Let us notice that” / “It follows directly from the definitions” 等）から 6 問を選別。

I.1 Relations and Maps

Prop I.1.2 ✅

問題. 関係 $F \subset X \times Y$ がグラフ（ある写像 $f$ の $\mathrm{gr}(f)$）であるのは、$F^- Y = X$ かつ「$F^- y_0 \cap F^- y_1 \neq \emptyset \Rightarrow y_0 = y_1$」のとき、かつそのときに限ることを示せ。カード: cards/topology/prop-i-1-2

解答（自然言語）. 2条件はそれぞれ「各 $x$ に対応する $y$ の存在」と「その一意性」を集合の言葉で述べたもの。

• ($\Rightarrow$) $F = \mathrm{gr}(f)$ とする。各 $x \in X$ について $(x, f(x)) \in F$ なので $x \in F^- f(x) \subset F^- Y$、よって $F^- Y = X$。また $x \in F^- y_0 \cap F^- y_1$ なら $(x,y_0), (x,y_1) \in \mathrm{gr}(f)$、すなわち $y_0 = f(x) = y_1$。
• ($\Leftarrow$) $F^- Y = X$ より、各 $x \in X$ に $(x,y) \in F$ なる $y$ が少なくとも1つ存在する。そのような $y$ が2つあれば $x \in F^- y_0 \cap F^- y_1$ となり仮定から $y_0 = y_1$、すなわち一意。この一意な $y$ を $f(x)$ と定めれば $f \in Y^X$ で $F = \mathrm{gr}(f)$。∎

得た手筋. 「写像である」＝「存在＋一意性」の2条件への分解。関係を写像とみなすときの判定基準として以後（graph が surjective/injective の言い換え、Cor I.1.6）繰り返し使う。

Rem I.1.3 ✅

問題. $g \circ f$ が全射なら $g$ は全射であり、$g \circ f$ が単射なら $f$ は単射であることを示せ。カード: cards/topology/composition-injectivity-surjectivity

解答（自然言語）. $f: X \to Y$, $g: Y \to Z$ とする。

• 全射性. $z \in Z$ をとる。$g \circ f$ 全射より $z = g(f(x))$ なる $x \in X$ が存在。$y := f(x) \in Y$ が $g(y) = z$ の証人になる。
• 単射性. $f(x_0) = f(x_1)$ とすると $g(f(x_0)) = g(f(x_1))$、$g \circ f$ 単射より $x_0 = x_1$。∎

得た手筋. 合成の性質は「外側が全射性を、内側が単射性を引き継ぐ」。左逆写像があれば単射・右逆写像があれば全射、の判定に直結（脚注2の quasi-inverse の議論）。

I.2 Equivalence Relations

Prop I.2.1 ✅

問題. 空でない集合 $X$ 上の同値関係と、$X$ 上で定義された全射（誘導する分割で同一視したもの）との間に全単射が存在することを示せ。カード: cards/topology/prop-i-2-1

解答（自然言語）. 対応を両向きに構成し、互いに逆であることを見る。

• 同値関係 → 全射. $E$ に標準全射 $q_E: X \to X/E$, $q_E(x) := Ex$（同値類）を対応させる。
• 全射 → 同値関係. 全射 $f: X \to Y$ に $E_f$（$x_1 \in E_f x_0 \iff f(x_0) = f(x_1)$、すなわち $E_f x = f^-(f(x))$）を対応させる。反射・対称・推移性は等号のそれから従う。
• 往復 (i): $E_{q_E} = E$. $q_E(x_0) = q_E(x_1) \iff Ex_0 = Ex_1 \iff x_1 \in Ex_0$（$\Leftarrow$ は対称・推移性で $Ex_0 \subset Ex_1$ と $\supset$ を出す、$\Rightarrow$ は反射性 $x_1 \in Ex_1 = Ex_0$）。
• 往復 (ii). 全射 $f: X \to Y$ に対し $\hat{f}: X/E_f \to Y$, $\hat{f}(E_f x) := f(x)$ は well-defined（クラスの定義そのもの）で単射（$\hat{f}(E_fx_0)=\hat{f}(E_fx_1) \Rightarrow f(x_0)=f(x_1) \Rightarrow E_fx_0 = E_fx_1$）かつ全射（$f$ の全射性）。ゆえに $f = \hat{f} \circ q_{E_f}$ で、$f$ は標準全射 $q_{E_f}$ と終域の全単射 $\hat{f}$ に分解する。終域の全単射で移り合う全射を同一視すれば、対応は全単射。∎

核心. 全射はすべて「標準全射 ∘ 全単射」に正規化できる（第一同型定理の集合版）。

得た手筋. 商集合 $X/E$ を経由する分解 $f = \hat{f} \circ q$。商収束（IV.3.9）や商写像の普遍性の原型。

I.3 Order

Prop I.3.8 ⭐ ✅

問題. 順序同型 $f$ は extrema を保存する、すなわち（存在する限り） $$f\Bigl(\bigvee A\Bigr) = \bigvee f(A), \qquad f\Bigl(\bigwedge A\Bigr) = \bigwedge f(A)$$ を示せ。カード: cards/topology/prop-i-3-8

解答（自然言語）. 方針: $f$ は $A$ の上界の集合を $f(A)$ の上界の集合に全単射に写す、を示せば最小上界も対応する。 $b := \bigvee A$ が存在するとする。

1. $f(b)$ は $f(A)$ の上界. $a \in A$ なら $a \leq b$、$f$ 順序保存より $f(a) \leq f(b)$。
2. 最小性. $c$ を $f(A)$ の任意の上界とする。各 $a \in A$ で $f(a) \leq c$、$f^{-1}$ も順序保存（順序同型の定義 I.3.7）より $a = f^{-1}(f(a)) \leq f^{-1}(c)$。よって $f^{-1}(c)$ は $A$ の上界で、$b \leq f^{-1}(c)$、再び $f$ を適用して $f(b) \leq c$。

ゆえに $f(b) = \bigvee f(A)$。$\bigwedge$ は双対（順序を逆にして同じ議論）。∎

注意. 全単射で順序保存でも $f^{-1}$ が順序保存でなければ破綻する（順序同型であることが本質）。

得た手筋. 「上界集合の対応」で extrema の保存を示す。より一般に随伴（Galois 接続）の片割れは片側の extrema を保つ → cards/topology/technique-galois-adjunction

I.4 Polarities

Prop I.4.2 ✅

問題. $R \subset X \times Y$, $A \subset X$, $B \subset Y$ に対し、次の3条件が同値であることを示せ（Prop I.1.1 のポラー版）: $$R^{\circ}A \supset B, \qquad A \subset R^{-\circ}B, \qquad A \times B \subset R.$$ カード: cards/topology/prop-i-4-2

解答（自然言語）. 方針: 3条件とも「すべての $x \in A$ とすべての $y \in B$ が $R$-関係にある」という同一の主張の言い換えであることを、定義 $R^{\circ}A = \bigcap_{x \in A} Rx$ を展開して確かめる。

• $R^{\circ}A \supset B \iff \forall y \in B,\ y \in \bigcap_{x \in A} Rx \iff \forall y \in B\ \forall x \in A,\ (x,y) \in R$。
• $A \subset R^{-\circ}B = \bigcap_{y \in B} R^- y \iff \forall x \in A\ \forall y \in B,\ x \in R^- y \iff (x,y) \in R$。
• $A \times B \subset R \iff \forall x \in A\ \forall y \in B,\ (x,y) \in R$。

3つとも同じ論理式に帰着した。∎

対比. Prop I.1.1 は「$\exists x \exists y$」（交わり）の3通りの言い換え、本命題は「$\forall x \forall y$」（包含）の3通りの言い換え。存在版と全称版の双対。

得た手筋. $A \mapsto R^{\circ}A$ と $B \mapsto R^{-\circ}B$ は反変 Galois 接続をなし、この同値がその定義式。bipolar の閉包性（I.4.5–I.4.7）はすべてここから出る → cards/topology/technique-galois-adjunction

I.5 Finite and Infinite Cardinals

Cor I.5.6 ⭐ ✅

問題. 可算集合 2 つの直積は可算であることを、直接（Prop I.5.4 の証明の内部に依らず）示せ。カード: cards/topology/cor-i-5-6

解答（自然言語）. 方針: $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ が可算であることを対角線挙列で直接示し、あとは全射の合成で移す。

1. $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ は可算. 反対角線 $D_k := {(i,j) : i + j = k}$（各 $D_k$ は有限、$k+1$ 個）を $k = 0, 1, 2, \dots$ の順に、各 $D_k$ 内は $i$ の昇順に並べれば全単射 $\sigma: \mathbb{N} \to \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ を得る（Cantor の対関数の逆）。
2. 一般の場合. $X, Y$ 可算なら全射 $\varphi: \mathbb{N} \to X$, $\psi: \mathbb{N} \to Y$ が存在（可算の定義）。積写像 $\varphi \times \psi: \mathbb{N} \times \mathbb{N} \to X \times Y$, $(i,j) \mapsto (\varphi(i), \psi(j))$ は全射。よって合成 $(\varphi \times \psi) \circ \sigma: \mathbb{N} \to X \times Y$ が全射で、$X \times Y$ は可算。∎

得た手筋. 対角線挙列（反対角線で有限ブロックに分割して並べる）＋「可算性は全射で押し出される」。$\mathbb{Q}$ の可算性、可算基フィルターの操作、測度論では $\sigma$-加法性・可算生成 $\sigma$-代数・積測度の可算矩形基底を支える基礎技術。

未整理メモ. 有限次元でない例（$\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$、可算積）は非可算（Cantor の定理 cards/topology/thm-i-5-8-cantor 経由）——可算性は有限積までしか保たれない。