Linear Algebra Done Right (4e) Chapter 2 Exercises

Chapter 2 演習ログ

状態: ⬜ 未着手 / 🟡 詰まり中 / ✅ 解決。🚩=要再訪。⭐=ゴール（内積・射影・スペクトル）に効く問題。 選別方針: 基底の操作（拡張・削減・補空間）と次元計算の手筋、関数空間（多項式＋積分拘束）の問題を優先。全問は解かない。

2A Span and Linear Independence

Ex 2A.13 ⭐ ⬜

問題. $v_1,\dots,v_m$ が線形独立、$w\in V$ のとき、$v_1,\dots,v_m,w$ が線形独立 $\iff w\notin\operatorname{span}(v_1,\dots,v_m)$ を示せ。

解答（自然言語）. {{方針: (⇐) $a_1v_1+\cdots+a_mv_m+bw=0$ で $b\neq0$ なら $w$ が span に入り矛盾、$b=0$ なら独立性から全係数 $0$。(⇒) 対偶は線形従属補題}}

得た手筋. {{「貪欲に足して独立性を保つ」の正当化（2.25・基底拡張の心臓部）}}

Ex 2A.17 ⬜

問題. $V$ が無限次元 $\iff$ 各 $m$ で $v_1,\dots,v_m$ が線形独立となる列 $v_1,v_2,\dots$ が存在することを示せ。

解答（自然言語）. {{方針: (⇒) 2.25 の貪欲構成が止まらない。(⇐) 有限次元なら独立リスト長は生成リスト長 (2.22) で頭打ち}}

得た手筋. {{無限次元性の実用的な判定法（$\mathbf{F}^\infty$・$C[0,1]$ に適用）}}

2B Bases

Ex 2B.4 ⭐ ⬜

問題. $U={(z_1,\dots,z_5)\in\mathbf{C}^5: 6z_1=z_2,\ z_3+2z_4+3z_5=0}$。(a) $U$ の基底 (b) $\mathbf{C}^5$ の基底への拡張 (c) $\mathbf{C}^5=U\oplus W$ なる $W$。

解答（自然言語）. {{方針: 自由変数 $z_1,z_4,z_5$ でパラメータ表示 → 基底3本。標準基底から2本足して拡張 (2.32)、$W$＝足した2本の span (2.33)}}

得た手筋. {{線形拘束 → 自由変数 → 基底、の機械的手続き。補空間の具体構成}}

Ex 2B.10 ⭐ ⬜

問題. $V=U\oplus W$、$u_1,\dots,u_m$ が $U$ の基底、$w_1,\dots,w_n$ が $W$ の基底なら、連結 $u_1,\dots,u_m,w_1,\dots,w_n$ が $V$ の基底であることを示せ。

解答（自然言語）. {{方針: 生成は $V=U+W$ から。独立は $0=u+w$ の直和一意表現 (1.45) で $u=w=0$ に落とす}}

得た手筋. {{直和 ⟷ 基底の連結。直交分解 $V=U\oplus U^\perp$ で基底を貼り合わせる操作の原型}}

2C Dimension

Ex 2C.7 ⭐ ⬜

問題. $U={p\in\mathcal{P}4(\mathbf{R}): \int{-1}^1 p=0}$。(a) $U$ の基底 (b) $\mathcal{P}_4(\mathbf{R})$ の基底への拡張 (c) $\mathcal{P}_4(\mathbf{R})=U\oplus W$ なる $W$。

解答（自然言語）. {{方針: 積分は線形汎関数（cards/linear-algebra/kernel-of-linear-functional）、$U$ はその核なので $\dim U=4$ と予想。奇関数 $x,x^3$ は自動的に入る。$1,x,x^2,x^3,x^4$ を積分 $0$ になるよう補正（例: $x^2-\tfrac13$, $x^4-\tfrac15$）}}

得た手筋. {{核の基底＝「拘束を消すよう補正した」リスト。Legendre 多項式・直交多項式の入口}}

Ex 2C.13 ⭐ ⬜

問題. $U,W$ が $\mathbf{R}^9$ の5次元部分空間なら $U\cap W\neq{0}$ を示せ。

解答（自然言語）. {{方針: 和の次元公式 (2.43): $\dim(U\cap W)=5+5-\dim(U+W)\ge10-9=1$}}

得た手筋. {{次元勘定で交わりの非自明性を示す—鳩ノ巣原理の線形代数版}}

Ex 2C.17 ⬜

問題. $V_1,\dots,V_m$ が有限次元部分空間なら $V_1+\cdots+V_m$ は有限次元で $\dim(V_1+\cdots+V_m)\le\dim V_1+\cdots+\dim V_m$ を示せ。

解答（自然言語）. {{方針: 各 $V_i$ の基底を連結すると和を生成するリスト（長さ＝次元の和）。生成リストは基底に削減 (2.30) されるので次元は長さ以下}}

得た手筋. {{「基底の連結＝和の生成リスト」。等号 ⟺ 直和（3.94 で証明）}}