Linear Algebra Done Right (4e) Chapter 1
Chapter 1. Vector Spaces
Section titled “Chapter 1. Vector Spaces”体 $\mathbf{F}$（$\mathbf{R}$ または $\mathbf{C}$）上のベクトル空間・部分空間・和・直和を定義する。 確率統計では確率変数のなす空間や $L^2$ の前段にあたる基礎言語。 カード索引: linear-algebra-done-right-Flashcards
1.A $\mathbf{R}^n$ and $\mathbf{C}^n$
Section titled “1.A $\mathbf{R}^n$ and $\mathbf{C}^n$”複素数を順序対として定義し、$\mathbf{F}$（$=\mathbf{R}$ or $\mathbf{C}$）の上に長さ $n$ のリストの空間 $\mathbf{F}^n$ を作る。 演算は座標ごと。これが抽象的なベクトル空間の動機。
- cards/linear-algebra/complex-numbers
- cards/linear-algebra/scalar-field-f
- cards/linear-algebra/list
- cards/linear-algebra/coordinate-space-fn
- cards/linear-algebra/operations-in-fn
1.B Definition of Vector Space
Section titled “1.B Definition of Vector Space”$\mathbf{F}^n$ の加法・スカラー倍の性質（可換・結合・単位元・逆元・分配律）を抽象化してベクトル空間を定義。 関数空間 $\mathbf{F}^S$・列空間 $\mathbf{F}^\infty$ が主要な非自明例（$L^2$ の代数的原型）。 単位元・逆元の一意性と、$0v=0$ / $a0=0$ / $(-1)v=-v$ という基本計算則を確立。
- cards/linear-algebra/vector-space
- cards/linear-algebra/function-space-fs
- cards/linear-algebra/sequence-space-f-infinity
- 📐 cards/linear-algebra/prop-1-26（加法単位元の一意性）
- 📐 cards/linear-algebra/prop-1-27（加法逆元の一意性）
- 📐 cards/linear-algebra/prop-1-30（$0v=0$）
- 📐 cards/linear-algebra/prop-1-31（$a0=0$）
- 📐 cards/linear-algebra/prop-1-32（$(-1)v=-v$）
1.C Subspaces
Section titled “1.C Subspaces”部分空間は「$0\in U$・加法・スカラー倍で閉じる」の3条件で判定（1.34）。 部分空間の和は最小の包含部分空間（1.40）。各元が一意表現される和が直和（1.41）。 直和判定は「$0$ の一意表現」を見ればよく（1.45）、2つの場合は $U\cap W={0}$ と同値（1.46）。
- cards/linear-algebra/subspace
- 📐 cards/linear-algebra/prop-1-34（部分空間の判定条件）
- cards/linear-algebra/sum-of-subspaces
- 📐 cards/linear-algebra/prop-1-40（和は最小の包含部分空間）
- cards/linear-algebra/direct-sum
- 📐 cards/linear-algebra/prop-1-45（直和の条件＝0の一意表現）
- 📐 cards/linear-algebra/prop-1-46（2部分空間の直和 ⟺ $U\cap W={0}$）
- ベクトル空間＝体上の加法群＋スカラー倍（分配律が加法とスカラー倍を繋ぐ唯一の公理）。
- 部分空間は和と直和で組み立てる。直和＝一意表現。
- ゴール接続: $\mathbf{F}^S$ は $L^2$ 確率変数空間の原型、直和分解は後の直交分解（条件付き期待値＝射影）の代数的前段。