Vector space (LADR 1.20)
- Vector space (LADR 1.20) #Card
- ベクトル空間の定義（加法とスカラー倍が満たすべき性質）は？
ベクトル空間とは、集合 $V$ に加法（各 $u,v\in V$ に $u+v\in V$ を割り当てる関数）と スカラー倍（各 $\lambda\in\mathbf{F}$, $v\in V$ に $\lambda v\in V$ を割り当てる関数）を備え、 次を満たすもの：
- 可換律: $u+v=v+u$
- 結合律: $(u+v)+w=u+(v+w)$ かつ $(ab)v=a(bv)$
- 加法単位元: $\exists,0\in V,\ v+0=v\ (\forall v)$
- 加法逆元: $\forall v,\exists w,\ v+w=0$
- 乗法単位元: $1v=v$
- 分配律: $a(u+v)=au+av$ かつ $(a+b)v=av+bv$
$V$ の要素をベクトル（点）と呼ぶ。$\mathbf{F}=\mathbf{R}$ なら実ベクトル空間、$\mathbf{F}=\mathbf{C}$ なら複素ベクトル空間 (1.22)。 確率統計では確率変数のなす空間や $L^2$ の前段にあたる共通言語。
[AddCommGroup V] [Module F V]（$\mathbf{F}$ は [Field F]）。
加法群が可換律・結合律・単位元・逆元を、Module が分配律・スカラー結合律・one_smul を与える。