Product

族 ${(X_\tau, \tau)}{\tau\in T}$ の直積集合上に、各射影 $p\tau$ が連続になるような**最も粗い（coarsest）**収束構造を入れたもの：$\prod T := \bigvee_{\tau} p_\tau^- \tau$（射影族に関する始収束 = initial convergence）。この「各射影が収束すれば全体が収束する」という判定条件は、位相の直積位相・関数解析の弱位相（作用素の族を通じて誘導される最粗位相）・測度論の直積可測空間まで共通する構成原理。有限積では離散性が保たれるが無限積では崩れる（Cantor cube）等、有限と無限の違いが顕在化する典型例でもある。

書籍別カード

• Royal Road to Topology: cards/topology/product-convergence — 射影族に関する始収束として定義（判定条件 Prop IV.6.3、積への写像の連続性 Prop IV.6.6）。関連: cards/topology/product-map（成分ごとの積写像）、cards/topology/product-preuniformity（一様構造版）、cards/topology/coproduct-of-convergences（双対の終収束）。

用語対応（terminology-map）

30_Concepts/topology-terminology-map（PR #168、未マージ）は現時点でフィルター・収束の基礎語彙／近傍・閉包／収束構造の分類／コンパクト性・被覆・連続／順序の向き、の5節に限定されており、product 専用の行はまだない（scope外。product は「収束構造の分類」節が扱う initial/final construction の一種だが、専用行としては未収録）。標準用語・Mathlib 対応は本ノートの frontmatter（standard-term:: / mathlib::）で直接対応づける。