Royal Road to Topology Chapter III Exercises

Chapter III 演習ログ

状態: ⬜ 未着手 / 🟡 詰まり中 / ✅ 解決。🚩=要再訪。⭐=ゴール（測度論的確率統計）に効く問題。 III.7 Supplement の正式演習 5 問（III.7.1–III.7.5）を全選別。III.7.1–III.7.4 は書籍に解答併載（自力で解いてから照合、照合済み）。III.7.5 は書籍未解答。

III.7 Supplement

Ex III.7.1 ⭐ ✅

問題. フィルター $\mathcal{V}{\sigma{\mathbb{R}}}(x) := \bigwedge_{\mathcal{F} \in \sigma_{\mathbb{R}}^-(x)} \mathcal{F}$（$x$ に収束する sequential filter 全体の下限）は、開区間 $,]x-\varepsilon, x+\varepsilon[,$（$\varepsilon > 0$）からなる filter-base を持つことを示せ。

解答（自然言語）. 方針: Ex II.5.3 の $x = 0$ の場合の議論をそのまま平行移動する（区間の添字は $\varepsilon = 2^{-n}$ で可算化できる）。

• ($\supset$) $\mathcal{F} \in \sigma_{\mathbb{R}}^-(x)$、$\mathcal{F} \approx (x_k)k$ とする。標準収束の定義から各 $\varepsilon > 0$ で尾が $]x-\varepsilon, x+\varepsilon[$ に入るので、$]x-\varepsilon, x+\varepsilon[ \in \mathcal{F}$。よって区間フィルターは $\bigwedge \sigma{\mathbb{R}}^-(x)$ より粗い。
• ($\subset$) $A \in \bigwedge \sigma_{\mathbb{R}}^-(x)$ がどの区間 $]x - 2^{-n}, x + 2^{-n}[$ も含まないとすると、各 $n$ で $r_n \in, ]x - 2^{-n}, x + 2^{-n}[, \setminus A$ が選べる。$(r_n)n \to x$ なのでその sequential filter は $\sigma{\mathbb{R}}^-(x)$ に属し、$A$ はその元、すなわちある尾 ${r_n : n \geq m} \subset A$——選び方と矛盾。よって $A$ はある区間を含む。∎ 核心. 標準（sequential）収束 $\sigma_{\mathbb{R}}$ の vicinity filter がちょうど開区間基＝$\nu_{\mathbb{R}}$ の近傍フィルター。$\sigma_{\mathbb{R}}$ の pretopologization が $\nu_{\mathbb{R}}$ である、という第III章の基本事実の実体（cards/topology/vicinity-filter, cards/topology/standard-convergence）。

得た手筋. 対角選択（Ex II.5.3 と同じ）→ cards/topology/technique-witness-selection

Ex III.7.2 ✅

問題. Sierpiński 収束（cards/topology/sierpinski-pretopologies）について $$_0 \vee $_1$ と $$_0 \wedge $_1$ を記述せよ。

解答（自然言語）. 方針: 収束の束演算は「収束するフィルターの集合」を点ごとに交わり/和でとる: $(\xi \vee \zeta)^-(x) = \xi^-(x) \cap \zeta^-(x)$、$(\xi \wedge \zeta)^-(x) = \xi^-(x) \cup \zeta^-(x)$。${0,1}$ 上の proper filter は $0^{\uparrow}, 1^{\uparrow}, {0,1}^{\uparrow}$ の3つのみなので、(III.2.1)(III.2.2) の表から計算する。

フィルター	$\lim_{$_0}$	$\lim_{$_1}$	$\lim_{$_0 \vee $_1}$（交）	$\lim_{$_0 \wedge $_1}$（和）
$0^{\uparrow}$	${0,1}$	${0}$	${0}$	${0,1}$
$1^{\uparrow}$	${1}$	${0,1}$	${1}$	${0,1}$
${0,1}^{\uparrow}$	${1}$	${0}$	$\emptyset$	${0,1}$

よって $$_0 \vee $_1$ は離散収束 $\iota$（主フィルターが自分の点にのみ収束、${0,1}^{\uparrow}$ はどこにも収束しない）、$$_0 \wedge $_1$ は混沌収束 $o$（すべての filter がすべての点に収束）。∎

得た手筋. 有限集合上の収束は「フィルター×点」の収束表を書いて束演算を機械的に実行する。III.2 の図（$\iota > $_0, $_1 > o$）の検算にもなる。

Ex III.7.3 ✅

問題. finitely stable な収束のクラス内での extrema $\wedge, \vee$ について、$\varsigma_+ \wedge \varsigma_- = \nu_{\mathbb{R}}$ かつ $\varsigma_+ \vee \varsigma_- = \iota$ を示せ（$\varsigma_\pm$ は Sorgenfrey 収束 cards/topology/sorgenfrey-line）。

解答（自然言語）.

• 下限. $\nu_{\mathbb{R}} \leq \varsigma_{\pm}$ は既知（本文 III.3.6）なので、$\nu_{\mathbb{R}}$ が finitely stable な下界の中で最大であることを示す。$\theta$ を finitely stable で $\theta \leq \varsigma_+$ かつ $\theta \leq \varsigma_-$ とする。右片側フィルター ${[x, x+\varepsilon[,}^{\uparrow}$ は $\varsigma_+$-収束、左片側フィルター ${]x-\varepsilon, x]}^{\uparrow}$ は $\varsigma_-$-収束するから、どちらも $\theta$-収束する。$\theta$ の有限安定性（cards/topology/finitely-stable-convergence）より、その下限、すなわち $${]x-\varepsilon, x] \cup [x, x+\varepsilon[, : \varepsilon > 0}^{\uparrow} = {]x-\varepsilon, x+\varepsilon[, : \varepsilon > 0}^{\uparrow} = \mathcal{V}{\nu}(x)$$ も $x$ に $\theta$-収束する。任意の $\mathcal{F}$ で $x \in \lim{\nu_{\mathbb{R}}} \mathcal{F}$ なら $\mathcal{F} \supset \mathcal{V}{\nu}(x)$ なので（isotone 性で）$x \in \lim{\theta} \mathcal{F}$。よって $\theta \leq \nu_{\mathbb{R}}$。
• 上限. $x \in \lim_{\varsigma_+ \vee \varsigma_-} \mathcal{F}$ とは両方で収束すること、すなわち各 $\varepsilon > 0$ で $[x, x+\varepsilon[, \in \mathcal{F}$ かつ $]x-\varepsilon, x] \in \mathcal{F}$。フィルターは有限交叉で閉じるから $${x} = [x, x+\varepsilon[, \cap, ]x-\varepsilon, x] \in \mathcal{F},$$ よって $\mathcal{F} = x^{\uparrow}$、すなわち $x \in \lim_{\iota} \mathcal{F}$。逆に $\iota \geq \varsigma_{\pm}$ は明らか（$x^{\uparrow}$ は両者で $x$ に収束）。なお $\iota$ も $\nu_{\mathbb{R}}$ も finitely stable なので、クラス内 extrema として正当。∎

核心. 左右の片側近接の「貼り合わせ」。下限では有限安定性が2つの片側フィルターの inf（＝両側区間）を収束させ、上限では有限交叉性が2つの片側集合の交わり（＝1点）を強制する。Sorgenfrey 線が標準収束の「半分」であることの正確な意味。

得た手筋. 収束のクラス内 extrema は「そのクラスの公理が収束フィルター集合に何を強制するか」で計算する。有限安定性＝「有限個の収束フィルターの inf も収束」を貼り合わせに使う。

Ex III.7.4 ✅

問題. 無理数全体は $\mathbb{R}$ で $\nu_{\mathbb{R}}$-稠密であることを示せ。

解答（自然言語）. 方針: 各点が無理数列の極限であることを、濃度論法（区間は非可算、$\mathbb{Q}$ は可算）＋対角選択で示す。

• $x$ が無理数なら定数列 $(x)_n$ でよい。
• $x = q \in \mathbb{Q}$ とする。各 $n \in \mathbb{N}1$ で区間 $]q - \frac{1}{n}, q + \frac{1}{n}[$ は $\mathbb{R}$ と等濃（Example I.5.1、cards/topology/interval-equipotent-line）ゆえ非可算（Prop I.5.7）。$\mathbb{Q}$ は可算（Prop I.5.5）なので $]q - \frac{1}{n}, q + \frac{1}{n}[, \setminus \mathbb{Q} \neq \emptyset$——無理数 $r_n$ が選べる。構成により $(r_n)n \to q$（$\nu{\mathbb{R}}$ で）。 よって $\mathbb{R}$ のすべての点に無理数からなる収束フィルター（sequential filter）が到達し、無理数集合は $\nu{\mathbb{R}}$-稠密。∎ 核心. 「非可算 − 可算 ≠ 空」という濃度差だけで稠密性が出る。測度論の「補集合が零集合なら稠密（フルサポート測度の下）」と同型の議論——濃度 ↔ 測度のアナロジー。 得た手筋. 対角選択（基元ごとに証人を1つ選ぶ）の3回目 → cards/topology/technique-witness-selection

Ex III.7.5 ⭐ ✅（書籍未解答）

問題. (III.6.8) を証明せよ: $\mathbb{R}^m$ 上の 3 距離 $d$（Euclid）, $s$（和）, $t$（max）（cards/topology/euclidean-convergence）について、各 $x, y$ で $$t(x,y) \leq d(x,y) \leq s(x,y) \leq m \cdot t(x,y).$$ 従って 3 距離は同値で、同一の収束（$\mathbf{t}_t = \mathbf{t}_d = \mathbf{t}_s$）を定める。

解答（自然言語）. $a_k := |x_k - y_k| \geq 0$（$1 \leq k \leq m$）とおくと、示すべきは $$\max_k a_k \leq \sqrt{\textstyle\sum_k a_k^2} \leq \sum_k a_k \leq m \cdot \max_k a_k.$$

1. $t \leq d$. $j$ を $a_j = \max_k a_k$ なる添字とすると $(\max_k a_k)^2 = a_j^2 \leq \sum_k a_k^2$。両辺の平方根をとる。
2. $d \leq s$. $\bigl(\sum_k a_k\bigr)^2 = \sum_k a_k^2 + \sum_{k \neq l} a_k a_l \geq \sum_k a_k^2$（交差項は非負）。両辺の平方根をとる。
3. $s \leq m \cdot t$. 各項で $a_k \leq \max_l a_l$ なので和をとって $\sum_k a_k \leq m \cdot \max_l a_l$。∎

収束の同一性. この挟み込みから球が入れ子になる: $$B_s(x,\varepsilon) \subset B_d(x,\varepsilon) \subset B_t(x,\varepsilon), \qquad B_t(x, \varepsilon/m) \subset B_s(x,\varepsilon).$$ よって 3 距離の球フィルター $\mathcal{B}_d(x)$ は互いに他を細分し、同一の vicinity filter を生む。距離収束は「$\mathcal{F} \supset$ 球フィルター」で決まるから $\mathbf{t}_t = \mathbf{t}_d = \mathbf{t}_s$。∎

核心. 定数倍の挟み込み $c \cdot d’ \leq d \leq C \cdot d’$ があれば球フィルターが一致し、収束（ゆえに連続性・極限概念すべて）が一致する。$\mathbb{R}^m$ の解析でノルムの選択が自由になる根拠。測度論的確率統計への射程: $\mathbb{R}^d$ 上の弱収束・分布関数・特性関数の議論はどのノルムでも同じ位相の上で行われる（実は有限次元ではすべてのノルムが同値——一般証明はコンパクト性（第VIII章以降）を要するが、標準3ノルムは初等的に済む）。

得た手筋. 成分ごとの不等式評価で距離の同値を示す → cards/topology/technique-metric-equivalence