Vicinity Filter $V_\xi(x)$ (近傍系フィルター) (Definition III.1.8)

• Vicinity Filter $V_\xi(x)$ (近傍系フィルター) (Definition III.1.8) #Card
  • The vicinity filter of $\xi$ at $x$ is the infimum of all filters $\xi$-converging to $x$: $V_\xi(x) := \bigwedge \xi^-(x)$.

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The vicinity filter $V_\xi(x)$ of a convergence $\xi$ at $x$ is the infimum of all filters $\xi$-converging to $x$: $$V_\xi(x) := \bigwedge \xi^-(x).$$

• A vicinity filter need not $\xi$-converge to $x$: for the standard sequential convergence $\sigma_\mathbb{R}$, $V_{\sigma_\mathbb{R}}(x)$ is generated by ${,]x-\varepsilon, x+\varepsilon[,: \varepsilon>0}$, which is not sequential, so $x \notin \lim_{\sigma_\mathbb{R}} V_{\sigma_\mathbb{R}}(x)$ (Example III.1.9). - $\xi$ is a pretopology $\iff$ $x \in \lim_\xi V_\xi(x)$ for each $x$（cards/topology/prop-iii-1-11）.

Meaning

$V_\xi(x)$ は $x$ に $\xi$-収束するすべての filter の infimum として定義される。近傍系フィルターは必ずしも $x$ に $\xi$-収束するとは限らない——これが pretopology と一般収束を分ける鍵である。

Example III.1.9: $\sigma_\mathbb{R}$ の $V_{\sigma_\mathbb{R}}(x)$ は ${]x - \varepsilon, x + \varepsilon[ : \varepsilon > 0}$ で生成されるが列型ではない（Example II.2.23）ため $x \notin \lim_{\sigma_\mathbb{R}} V_{\sigma_\mathbb{R}}(x)$。一方 $\nu_\mathbb{R}$ では $V_{\nu_\mathbb{R}}(x)$ が $x$ に収束する。$V_{\sigma_\mathbb{R}}(x) = V_{\nu_\mathbb{R}}(x)$ なのに収束が異なる——近傍系 filter だけでは収束を完全には決定できない。

出典: refs/math/topology/royal-road-to-topology/pdfs/chp3-2024-convergence-of-filters.pdf p.37–38

Lean

位相の場合は 𝓝 x（Mathlib 順序では上限 ⨆/sSup 側に対応することに注意）