Linear Algebra Done Right (4e) Chapter 1 Exercises

Chapter 1 演習ログ

状態: ⬜ 未着手 / 🟡 詰まり中 / ✅ 解決。🚩=要再訪。⭐=ゴール（内積・射影・スペクトル）に効く問題。 ガイドの選別方針に従い、基本手筋（部分空間判定・直和・交わり）と関数空間の問題を優先選別。全問は解かない。

1.B Definition of Vector Space

Ex 1.B.2 ✅

問題. $a\in\mathbf{F}$, $v\in V$, $av=0$ のとき、$a=0$ または $v=0$ を示せ。

解答（自然言語）. $a=0$ ならば主張は成立。$a\neq0$ と仮定すると $\mathbf{F}$ は体なので $a^{-1}$ が存在し、 $$v = 1v = (a^{-1}a)v = a^{-1}(av) = a^{-1}0 = 0.$$ 最後の等号は cards/linear-algebra/prop-1-31（スカラー × 零ベクトル $=0$）。よって $a=0$ または $v=0$。∎

得た手筋. スカラーが可逆なら積の零化からベクトルの零が出る—体ならではの論法。「$a\neq0$ なら $a^{-1}$ を掛けて $1v=v$ に戻す」は以後頻出。

Ex 1.B.8 ⭐ ✅

問題. 実ベクトル空間 $V$ の複素化 $V_\mathbf{C}=V\times V$（要素を $u+iv$ と書く）が、加法 $(u_1+iv_1)+(u_2+iv_2)=(u_1+u_2)+i(v_1+v_2)$ と複素スカラー倍 $(a+bi)(u+iv)=(au-bv)+i(av+bu)$ で複素ベクトル空間になることを示せ。

解答（自然言語）.

• 加法の可換・結合: 成分ごとの計算で $V$ の可換・結合から従う。
• 加法単位元: $0+i0$。加法逆元: $-(u+iv)=(-u)+i(-v)$。
• 乗法単位元: $1=1+0i$ について $1(u+iv)=(1u-0v)+i(1v+0u)=u+iv$。
• スカラー乗法の結合律: $\lambda=a+bi$, $\mu=c+di$ とすると $\lambda\mu=(ac-bd)+(ad+bc)i$ であり、 $$\lambda\bigl(\mu(u+iv)\bigr)=\bigl(a(cu-dv)-b(cv+du)\bigr)+i\bigl(a(cv+du)+b(cu-dv)\bigr)$$ $$=\bigl((ac-bd)u-(ad+bc)v\bigr)+i\bigl((ac-bd)v+(ad+bc)u\bigr)=(\lambda\mu)(u+iv).$$
• 分配律: $\lambda(w_1+w_2)=\lambda w_1+\lambda w_2$ と $(\lambda+\mu)w=\lambda w+\mu w$ はいずれも成分計算で $V$ の分配律に帰着。

よって $V_\mathbf{C}$ は複素ベクトル空間。$\mathbf{C}^n$ を $\mathbf{R}^n$ から作る構成の一般化になっている。∎

得た手筋. 実→複素の係数拡大（複素化）。実ベクトル空間の文脈で複素スペクトル定理を使うための布石。検証の実質はスカラー乗法の結合律で、複素数の積の定義 $(ac-bd,\ ad+bc)$ がそのまま現れる。→ cards/linear-algebra/complexification

1.C Subspaces

Ex 1.C.1 ✅

問題. $\mathbf{F}^3$ の次の部分集合が部分空間か判定せよ。(a) $x_1+2x_2+3x_3=0$ (b) $=4$ (c) $x_1x_2x_3=0$ (d) $x_1=5x_3$。

解答（自然言語）. cards/linear-algebra/prop-1-34 の3条件で判定。

• (a) 部分空間。 $\varphi(x)=x_1+2x_2+3x_3$ は線形汎関数で、この集合はその核。$\varphi(0)=0$、$x,y$ が満たせば $\varphi(x+y)=\varphi(x)+\varphi(y)=0$、$\varphi(\lambda x)=\lambda\varphi(x)=0$。
• (b) 部分空間でない。 $\varphi(0)=0\neq4$ なので $0$ を含まない。
• (c) 部分空間でない。 $(1,1,0)$ と $(0,0,1)$ は含まれるが、和 $(1,1,1)$ は $x_1x_2x_3=1\neq0$。加法で閉じない。
• (d) 部分空間。 $x_1-5x_3=0$ という斉次線形等式なので (a) と同型の議論。

得た手筋. 斉次線形方程式の解集合（＝線形汎関数の核）は部分空間。非斉次は $0$ が落ち、非線形は加法が破れる（反例を探す）、の嗅覚。

Ex 1.C.4 ⭐ ✅

問題. $b\in\mathbf{R}$。$[0,1]$ 上の連続関数で $\int_0^1 f=b$ なるもの全体 $U_b$ が $\mathbf{R}^{[0,1]}$ の部分空間 $\iff b=0$ を示せ。

解答（自然言語）.

• ($\Leftarrow$) $b=0$ のとき部分空間。 cards/linear-algebra/prop-1-34 の3条件を確認する。
  1. 零関数は連続で $\int_0^1 0=0$、よって $0\in U_0$。
  2. $f,g\in U_0$ なら $f+g$ は連続で、積分の加法性より $\int_0^1(f+g)=\int_0^1 f+\int_0^1 g=0$。
  3. $\lambda\in\mathbf{R}$, $f\in U_0$ なら $\lambda f$ は連続で $\int_0^1 \lambda f=\lambda\int_0^1 f=0$。
• ($\Rightarrow$) 部分空間なら $b=0$。 部分空間は $0$ を含むから $b=\int_0^1 0=0$。∎

核心. 積分 $f\mapsto\int_0^1 f$ は線形汎関数であり、$U_b$ はその水準集合。部分空間になるのは水準 $0$ の水準集合＝核のときに限る。$b\neq0$ の $U_b$ は核の平行移動（アフィン部分空間）で、原点を通らない。

得た手筋. 線形汎関数の核は部分空間。$L^2$ における線形拘束（$\mathbb{E}[X]=0$ の空間など）の原型で、射影・条件付き期待値の幾何へ直結する。→ cards/linear-algebra/kernel-of-linear-functional

Ex 1.C.10 / 1.C.11 ⭐ ✅

問題. 部分空間の（有限／任意）交わり $\bigcap V_i$ が部分空間であることを示せ。

解答（自然言語）. 任意の族 ${V_i}{i\in I}$ で示せば有限版 (1.C.10) は特別な場合。$W=\bigcap{i\in I}V_i$ とおく。

1. 各 $V_i$ は部分空間なので $0\in V_i$、よって $0\in W$。
2. $u,w\in W$ なら各 $i$ で $u,w\in V_i$、$V_i$ は加法で閉じるので $u+w\in V_i$。すべての $i$ で成り立つから $u+w\in W$。
3. $\lambda\in\mathbf{F}$, $u\in W$ も同様に $\lambda u\in V_i\ (\forall i)$ より $\lambda u\in W$。

cards/linear-algebra/prop-1-34 により $W$ は部分空間。∎

得た手筋. 交わりは常に部分空間（添字集合の濃度によらない）。「各成分で閉じている性質は交わりに遺伝する」型の議論で、直交補空間・生成部分空間（span を「含む部分空間全体の交わり」で特徴づける）の基盤。合併 $\cup$ との非対称性に注意—合併は一般に部分空間でなく、和 cards/linear-algebra/sum-of-subspaces が合併を含む最小の部分空間。→ cards/linear-algebra/intersection-of-subspaces

Ex 1.C.14 ✅

問題. $U={(x,-x,2x)}$, $W={(x,x,2x)}\subseteq\mathbf{F}^3$。$U+W$ を記号で、また記号なしで記述せよ。

解答（自然言語）. 典型元 $u=(a,-a,2a)\in U$, $w=(b,b,2b)\in W$ の和を計算： $$u+w=(a+b,; b-a,; 2(a+b)).$$ 第1成分 $s=a+b$ と第2成分 $t=b-a$ は $a=\tfrac{s-t}{2}$, $b=\tfrac{s+t}{2}$ と解けるので、任意の組 $(s,t)$ を実現できる。第3成分は常に第1成分の2倍。よって $$U+W={(x,y,2x): x,y\in\mathbf{F}}={(x,y,z)\in\mathbf{F}^3: z=2x}.$$ 記号なしで: 第3座標が第1座標の2倍であるようなベクトル全体（第2座標は自由）。∎

得た手筋. 和の具体記述＝典型元の係数を自由に動かし、どの座標が独立に動けてどの座標に拘束が残るかを見る。パラメータ表示 ↔ 方程式表示の往復。