Intersection of subspaces (Ex 1.C.10/11)
- Intersection of subspaces (Ex 1.C.10/11) #Card
- 部分空間の任意の族 ${V_i}{i\in I}$ の交わり $\bigcap{i\in I}V_i$ は部分空間か？合併はどうか？
命題. 部分空間の任意の族の交わり $\bigcap_{i\in I}V_i$ は部分空間（添字集合の濃度によらない）。
証明の型: 「各成分で閉じている性質は交わりに遺伝する」— $0$ は各 $V_i$ に属し、$u,w\in\bigcap V_i$ なら加法・スカラー倍の閉性が各 $V_i$ で成り立つので交わりでも成り立つ。cards/linear-algebra/prop-1-34 直接適用。
対比: 合併 $\cup$ は一般に部分空間でない（例: $\mathbf{R}^2$ の2直線）。合併を含む最小の部分空間は和 cards/linear-algebra/sum-of-subspaces。
射程: span＝「含む部分空間全体の交わり」という特徴づけ、直交補空間の定義基盤。
Submodule.iInf／sInf（CompleteLattice 構造）。Submodule.mem_iInf。