Sierpiński Pretopologies (シェルピンスキー前位相) (Example III.5.3)
- Sierpiński Pretopologies (シェルピンスキー前位相) (Example III.5.3) #Card
- The finitely stable convergences $$_0, $_1$ on $X = {0, 1}$: $$0$ is defined by ${0,1} = \lim{$0} {0}^\uparrow$ and ${1} = \lim{$_0} {1}^\uparrow$ (0 converges to 1, but not conversely).
On $X = {0,1}$ define finitely stable convergences:
- Upper Sierpiński pretopology $$_0$: ${0,1} = \lim_{$0} {0}^\uparrow$, ${1} = \lim{$0} {1}^\uparrow$（0 は 1 に収束するが逆はない；1 が孤立点）。有限安定性より $\lim{$_0}{0,1}^\uparrow = {1}$。
- Lower Sierpiński pretopology $$_1$: ${0} = \lim_{$1}{0}^\uparrow$, ${0,1} = \lim{$_1}{1}^\uparrow$（0 が孤立点）。
性質:
- $T_0$ だが free ($T_1$) でない。prime（$$_0$ の極は 1、$$_1$ の極は 0）。
- 互いに比較不能で $$_0 \vee $_1 = \iota$, $$_0 \wedge $_1 = o$（Exercise III.7.2）。
- ${0,1}$ 上の有限安定収束は同値（全単射での移り合い）を除いて離散・混沌・Sierpiński の 3 種のみ：離散は $T_2$、Sierpiński は $T_0$ だが $T_1$ でない、混沌は $T_0$ ですらない。
位相の場合は Sierpiński 空間（Mathlib: Prop の sierpinskiSpace）