手筋: 対角選択・証人選択 (Ex II.5.3 / II.5.4 / III.7.1 / III.7.4)
- 手筋: 対角選択・証人選択 (Ex II.5.3 / II.5.4 / III.7.1 / III.7.4) #Card
- フィルターの下限 $\bigwedge \mathbb{F}$ や近傍基に関する主張を、各メンバーから1つずつ証人を選んで証明する手筋は？
2つの型.
- 点の対角選択（反例列）. $A$ が基 ${U_n : n < \omega}$ のどの元も含まないなら、各 $n$ で $r_n \in U_n \setminus A$ を選ぶ。$U_n$ が縮小近傍なら $(r_n)_n$ は収束列になり、「$A$ は収束フィルター全部に属す」という仮定と矛盾する（尾が $A$ に入るはずだから）。
- Ex II.5.3: $\bigwedge S(0) = {(-2^{-n}, 2^{-n})}^{\uparrow}$ の $\subset$ 側。
- Ex III.7.1: 同じ議論の平行移動（$\mathcal{V}{\sigma{\mathbb{R}}}(x)$ は開区間基）。
- Ex III.7.4: $U_n \setminus \mathbb{Q} \neq \emptyset$（濃度論法）から無理数の稠密性。
- 集合の証人選択（和集合構成）. $x \notin \bigcup_{\mathcal{F}} \ker \mathcal{F}$ なら各 $\mathcal{F}$ から $x \notin F_{\mathcal{F}} \in \mathcal{F}$ を選び、$U := \bigcup_{\mathcal{F}} F_{\mathcal{F}}$ とおくと上方閉性から $U \in \bigwedge \mathbb{F}$ かつ $x \notin U$。
- Ex II.5.4: $\ker(\bigwedge \mathcal{F}) = \bigcup \ker \mathcal{F}$。
射程: 下限フィルター・近傍基・稠密性など「すべての〜に属す/触れる」型の主張の反例構成に共通。可算基があれば選択は可算選択で済み、収束列が作れる（第一可算性の使いどころ）。測度論では「a.e. 収束する部分列の対角抽出」に同じ骨格が現れる。
対角列の構成は Filter.HasBasis と Filter.exists_seq_of_countable_basis 系（Filter.IsCountablyGenerated.exists_antitone_basis → 列の選択）が対応。