手筋: 距離の同値（定数倍の挟み込み） (Ex III.7.5)
- 手筋: 距離の同値（定数倍の挟み込み） (Ex III.7.5) #Card
- 2つの距離が同じ収束を定めることを示す最短の手筋は？
核: 定数 $c, C > 0$ で $$c \cdot d’(x,y) \leq d(x,y) \leq C \cdot d’(x,y)$$ と挟めれば、球が定数スケールで入れ子になり（$B_{d}(x, c\varepsilon) \subset B_{d’}(x,\varepsilon) \subset B_{d}(x, C\varepsilon)$ の型）、両距離の球フィルターが一致 → 同一の収束 $\mathbf{t}d = \mathbf{t}{d’}$（ゆえに連続性・極限・稠密性なども全部一致）。
実例 (III.6.8, Ex III.7.5). $\mathbb{R}^m$ の3距離 $t$ (max) / $d$ (Euclid) / $s$ (和) は $$t \leq d \leq s \leq m \cdot t$$ （$t \leq d$: 最大項は2乗和に含まれる。$d \leq s$: 交差項が非負。$s \leq m \cdot t$: 各項を max で押さえる）。成分ごとの不等式評価だけで済む。
限界と対比. 定数倍不可でも収束が一致することはある（同値の十分条件にすぎない）。逆に Example III.6.4（$X = {1/n}$ 上の $d$ と離散距離 $i_X$）は片側 $d \leq i_X$ のみで、両距離は同じ離散収束を metrize する——「同値 ⇒ 同収束」の逆は不成立。
射程: 有限次元では実はすべてのノルムが同値（一般証明はコンパクト性、第VIII章以降）。$\mathbb{R}^d$ 上の弱収束・分布関数・特性関数の議論がノルムの選択に依らない根拠。
Mathlib: LipschitzWith の相互評価、Metric.uniformity_eq 系。ノルム同値は LinearMap.continuous_of_finiteDimensional / FiniteDimensional 下の norm_equiv（ContinuousLinearEquiv）。