Standard Convergence $\nu_\mathbb{R}$ (標準収束) (Example III.1.4)

• Standard Convergence $\nu_\mathbb{R}$ (標準収束) (Example III.1.4) #Card
  • The convergence $\nu = \nu_\mathbb{R}$ of the real line: $x \in \lim_{\nu_\mathbb{R}} \mathcal{F}$ provided that $]x - \varepsilon, x + \varepsilon[ \in \mathcal{F}$ for each $\varepsilon > 0$.

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The convergence $\nu = \nu_\mathbb{R}$ of the real line $\mathbb{R}$ defined by: $x \in \lim_{\nu_\mathbb{R}} \mathcal{F}$ provided that $]x - \varepsilon, x + \varepsilon[ \in \mathcal{F}$ for each $\varepsilon > 0$ (equivalently, for each $\varepsilon > 0$ there is $F \in \mathcal{F}$ with $|r - x| < \varepsilon$ for all $r \in F$).

• A Hausdorff pretopology of countable character: the vicinity filter $V_{\nu_\mathbb{R}}(x)$ is generated by ${,]x-\varepsilon, x+\varepsilon[,: \varepsilon > 0}$ and converges to $x$.
• Metrizable by $d(x_0, x_1) := |x_1 - x_0|$ (Example III.6.3).
• $\mathbb{Q}$ and $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ are $\nu_\mathbb{R}$-dense, so $\nu_\mathbb{R}$ is separable.

Meaning

実数直線の「標準的な」収束——各 $\varepsilon > 0$ について対称区間 $]x - \varepsilon, x + \varepsilon[$ が $\mathcal{F}$ に属するとき $x \in \lim_{\nu_\mathbb{R}} \mathcal{F}$。第II章の $\mathcal{N}(x) \subset \Gamma_\varphi$ の filter 版と見なせる。

pretopology である：近傍系 $V_{\nu_\mathbb{R}}(x)$ が $x$ に $\nu_\mathbb{R}$-収束する。Hausdorff かつ finitely stable。Example III.1.3 の $\sigma_\mathbb{R}$ より coarse（$\nu_\mathbb{R} < \sigma_\mathbb{R}$）だが、近傍系 filter は一致する $V_{\sigma_\mathbb{R}}(x) = V_{\nu_\mathbb{R}}(x)$。

出典: refs/math/topology/royal-road-to-topology/pdfs/chp3-2024-convergence-of-filters.pdf p.36–38

Lean

Real の標準位相での 𝓝 x（Metric.nhds_basis_ball：開球が近傍基底）