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Interval Equipotent with the Line (区間と直線の対等性) (Example I.5.1)

  • Interval Equipotent with the Line (区間と直線の対等性) (Example I.5.1) #Card
    • For every $a < b$, the strict interval $]a, b[$ is equipotent with the real line $\mathbb{R}$. 証明の道具は？

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For every $a < b$, the strict interval $]a, b[$ is equipotent with $\mathbb{R}$.

証明: 任意の 2 つの開区間はアフィン写像で移り合うので対等。あとは $\arctan : \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[\to \mathbb{R}$ が全単射であることから。 - 帰結: 空でない開区間はすべて非可算（cards/topology/prop-i-5-7 と合わせて）——Exercise III.7.4（無理数の稠密性）などで繰り返し使う。

  • 位相版は第IV章: $\tan \in H(\nu_{\mathbb{R}}|{]-\pi/2,\pi/2[}, \nu\mathbb{R})$ は同相でもある。