Condition for a direct sum (LADR 1.45)
- Condition for a direct sum (LADR 1.45) #Card
- 和が直和であることを判定するには、$0$ の表現だけ見ればよい。なぜ？
命題. $V_1+\cdots+V_m$ が直和 $\iff$ $0=v_1+\cdots+v_m$（$v_k\in V_k$）と書けるのは 各 $v_k=0$ のときに限る。
証明の要点. ($\Rightarrow$) 直和なら $0$ の表現は一意でゆえ全部 $0$。 ($\Leftarrow$) $v=v_1+\cdots+v_m=u_1+\cdots+u_m$ の2表現の差をとると $0=(v_1-u_1)+\cdots+(v_m-u_m)$。仮定より各 $v_k-u_k=0$、ゆえ表現は一意。
手筋: 直和判定は「$0$ の一意表現」だけ確認すればよい（全ベクトルを調べる必要なし）。
内部直和の特徴づけ。DirectSum.IsInternal ⇔ 独立性＋全体を張る。独立性は iSupIndep。