Direct sum of two subspaces (LADR 1.46)
- Direct sum of two subspaces (LADR 1.46) #Card
- $U,W$ の2つの部分空間について、$U+W$ が直和になる簡単な条件は？
命題. $U,W$ を $V$ の部分空間とすると $$U+W \text{ が直和}\iff U\cap W={0}.$$
証明の要点. ($\Rightarrow$) $v\in U\cap W$ なら $0=v+(-v)$（$v\in U,,-v\in W$）。$0$ の一意表現より $v=0$。 ($\Leftarrow$) $0=u+w$（$u\in U,w\in W$）なら $u=-w\in U\cap W={0}$、ゆえ $u=w=0$。cards/linear-algebra/prop-1-45 より直和。
注意: これは2つの場合のみ。3つ以上では「各ペアの交わりが ${0}$」では不十分（Ex.1.44 が反例）。
Submodule.isCompl_iff_disjoint 系。2部分空間の直和は Disjoint U W（= U ⊓ W = ⊥）が鍵。