Order on Convergences (収束の順序：finer / coarser) (Section III.3)
- Order on Convergences (収束の順序：finer / coarser) (Section III.3) #Card
- $\zeta$ is finer than $\xi$ ($\xi$ coarser than $\zeta$), written $\zeta \geq \xi$, if $\lim_\zeta \mathcal{F} \subset \lim_\xi \mathcal{F}$ for each $\mathcal{F} \in \mathbb{F}X$.
Let $\zeta, \xi \subset \mathbb{F}X \times X$. We say $\zeta$ is finer than $\xi$ (equivalently $\xi$ is coarser than $\zeta$), in symbols $\zeta \geq \xi$, if for each $\mathcal{F} \in \mathbb{F}X$, $$\lim_\zeta \mathcal{F} \subset \lim_\xi \mathcal{F}.$$
- 関係として見ると $\zeta \geq \xi \iff \zeta \subset \xi \iff \zeta^- \subset \xi^-$（細かい方が「収束しにくい」）。
- $(\mathbb{I}X, \geq)$ 上の順序。線形順序ではない（$\operatorname{card} X > 1$ なら比較不能な対がある、Examples III.3.3–III.3.4）。
- 例: $\sigma_\mathbb{R} > \nu_\mathbb{R}$（Example III.3.1）。
Mathlib の TopologicalSpace X の順序は逆向き: t ≤ s は「t の方が細かい」で、⊥ = 離散位相、⊤ = 密着位相。本書は $\iota$（離散）が最大・$o$（密着）が最小