Proposition III.2.3 (pavement による前位相の特徴づけ)
- Proposition III.2.3 (pavement による前位相の特徴づけ) #Card
- 前位相と一枚 pavement の関係。
A convergence $\xi$ on $X$ is a pretopology if and only if for each $x \in X$, there exists a pavement of $\xi$ at $x$ consisting of one filter.
証明の骨子. pavement（cards/topology/pavement）$\mathbb{D} \subset \xi^-(x)$ とは、各 $\mathcal{F} \in \xi^-(x)$ がある $\mathcal{D} \in \mathbb{D}$ を細分する（$\mathcal{F} \supset \mathcal{D}$）族。
- ($\Leftarrow$) 一枚 pavement ${\mathcal{D}}$ があるとする。$\mathcal{D} \in \xi^-(x)$ であり、かつ全ての $\mathcal{F} \in \xi^-(x)$ が $\mathcal{D}$ を細分する、すなわち $\mathcal{D}$ は $\xi^-(x)$ の最粗（最小）元。よって $\xi^-(x)$ は最粗元を持ち、$\xi$ は前位相（cards/topology/pretopology）。かつ $\mathcal{D} = V_\xi(x)$。
- ($\Rightarrow$) $\xi$ が前位相なら $\xi^-(x)$ の最粗元 $V_\xi(x)$ が存在し、これは自身 $\xi^-(x)$ に属して全収束フィルターに細分される。ゆえに ${V_\xi(x)}$ が一枚 pavement。∎