Proposition III.4.2 (prime + 自由 ⟹ ハウスドルフ)
- Proposition III.4.2 (prime + 自由 ⟹ ハウスドルフ) #Card
- prime な自由収束の分離性。
Each prime free (alias $T_1$) convergence is Hausdorff.
証明の骨子. Hausdorff 性（極限の一意性、cards/topology/hausdorff-convergence-t2）を示す。${x_0, x_1} \subset \lim_\xi \mathcal{F}$、$x_0 \neq x_1$ と仮定する。$\xi$ は prime なので非孤立点は高々 1 つ（cards/topology/prime-convergence）——極 $x_\infty$。よって $x_0, x_1$ の少なくとも一方は孤立点、たとえば $x_0 \neq x_\infty$ が孤立点とする。孤立点の定義（cards/topology/isolated-point）より $\xi^-(x_0) = {x_0^\uparrow}$、$x_0 \in \lim_\xi \mathcal{F}$ から $\mathcal{F} = x_0^\uparrow$。すると $x_1 \in \lim_\xi x_0^\uparrow$ かつ $x_1 \neq x_0$ となり、自由性 $\lim_\xi x_0^\uparrow \subset {x_0}$（cards/topology/free-convergence-t1）に反する。ゆえに $x_0 = x_1$、$\xi$ は Hausdorff。∎