Standard Sequential Convergence $\sigma_\mathbb{R}$ (標準列型収束) (Example III.1.3)
- Standard Sequential Convergence $\sigma_\mathbb{R}$ (標準列型収束) (Example III.1.3) #Card
- The convergence $\sigma = \sigma_\mathbb{R}$ on $\mathbb{R}$: $x \in \lim_{\sigma_\mathbb{R}} \mathcal{F}$ if there exists a sequence $\varphi \in \mathbb{R}^\mathbb{N}$ such that $x \in \lim \varphi$ (classical sense) and $\varphi[(\mathbb{N})_0] \subset \mathcal{F}$.
The convergence $\sigma = \sigma_\mathbb{R}$ on $\mathbb{R}$ defined by: $x \in \lim_{\sigma_\mathbb{R}} \mathcal{F}$ if there exists a sequence $\varphi \in \mathbb{R}^\mathbb{N}$ such that $x \in \lim \varphi$ (in the classical sense) and $\varphi[(\mathbb{N})_0] \subset \mathcal{F}$ — i.e. $\mathcal{F}$ is finer than the sequential filter of some sequence converging to $x$.
- Finitely stable (finite infima of sequential filters are sequential), of countable character.
- Not a pretopology: its vicinity filter $V_{\sigma_\mathbb{R}}(x)$ is generated by ${,]x-\varepsilon, x+\varepsilon[,: \varepsilon > 0}$, which is not sequential, so $x \notin \lim_{\sigma_\mathbb{R}} V_{\sigma_\mathbb{R}}(x)$ (Example III.1.9). Not metrizable.
- $\sigma_\mathbb{R} > \nu_\mathbb{R}$ (strictly finer than the standard convergence), yet $V_{\sigma_\mathbb{R}}(x) = V_{\nu_\mathbb{R}}(x)$.
Meaning
Section titled “Meaning”第II章の列の収束を filter 言語に一般化した実数直線上の収束。$x \in \lim_{\sigma_\mathbb{R}} \mathcal{F}$ とは、$x$ に古典的に収束する列 $\varphi$ が存在し、その列型 filter の像が $\mathcal{F}$ に含まれることである。
finitely stable である理由は「列型 filter の有限 inf は列型」（第II章）から従う。pretopology ではない——近傍系 $V_{\sigma_\mathbb{R}}(x)$ は $x$ に $\sigma_\mathbb{R}$-収束しない（Example III.1.9）。付記として $V_{\sigma_\mathbb{R}}(x) = V_{\nu_\mathbb{R}}(x)$ なのに $\sigma_\mathbb{R} \neq \nu_\mathbb{R}$ である——同じ近傍系 filter でも収束として区別できる最初の例。
出典:
refs/math/topology/royal-road-to-topology/pdfs/chp3-2024-convergence-of-filters.pdfp.36–38
（本書独自の convergence space。Mathlib には $\sigma_\mathbb{R}$ 相当物なし）