Proposition III.5.2 (有限安定な有限収束)
- Proposition III.5.2 (有限安定な有限収束) #Card
- 有限集合上の有限安定収束は何になるか。
Every finitely stable finite convergence is a pretopology.
証明の骨子. 有限収束とは台集合 $X = |\xi|$ が有限な収束（cards/topology/principal-convergence）。有限集合 $X$ 上の proper filter は有限個（各フィルターは主フィルターであり、$X$ の部分集合は $2^{|X|}$ 個しかない）なので、各点 $x$ で $\xi^-(x)$ は有限集合。$\xi^-(x)$ 自身が $x$ での有限 pavement（各収束フィルターは自分自身を細分する、cards/topology/pavement）。よって $\xi$ は有限安定かつ各点で有限 pavement を持つので、cards/topology/cor-iii-2-4 から前位相（cards/topology/pretopology）。最粗の収束フィルターは $\bigwedge \xi^-(x) = V_\xi(x)$。∎
- $n$ 点集合上の前位相の個数は $2^{(n-1)n}$（各点の主ウルトラフィルターが残り $n-1$ 点の任意の部分集合に収束しうる）。3 点集合上には $2^6 = 64$ 個、同相を除けば 16 類。