Corollary III.2.4 (有限 pavement と前位相)
- Corollary III.2.4 (有限 pavement と前位相) #Card
- 有限安定収束が有限 pavement を持つとどうなるか。
If a finitely stable convergence has a finite pavement at every point, then it is a pretopology.
証明の骨子. 各点 $x$ で有限 pavement $\mathbb{D} = {\mathcal{D}_1, \dots, \mathcal{D}_n} \subset \xi^-(x)$ を持つとする。有限安定性（cards/topology/finitely-stable-convergence）を有限個へ帰納的に拡張すると、収束フィルターの meet $\bigwedge \mathbb{D} = \mathcal{D}_1 \wedge \cdots \wedge \mathcal{D}_n$ も $x$ に $\xi$-収束する。一方 pavement の定義から任意の $\mathcal{F} \in \xi^-(x)$ はある $\mathcal{D}_i$ を細分し、$\mathcal{D}i \supset \bigwedge \mathbb{D}$ ゆえ $\mathcal{F} \supset \bigwedge \mathbb{D}$。よって ${\bigwedge \mathbb{D}}$ は一枚 pavement であり、cards/topology/prop-iii-2-3 から $\xi$ は前位相（$V\xi(x) = \bigwedge \mathbb{D}$）。∎