Convergence Modifier $I$ (収束修正子) (Proposition III.7.9 / Lemma III.7.10)

• Convergence Modifier $I$ (収束修正子) (Proposition III.7.9 / Lemma III.7.10) #Card
  • For any relation $\theta \subset \mathbb{F}X \times X$ there exists the finest preconvergence $I^\circ\theta$ coarser than $\theta$, and the finest convergence $I\theta$ coarser than $\theta$.

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Let $X \neq \emptyset$ and $\theta \subset \mathbb{F}X \times X$ be an arbitrary relation.

• Proposition III.7.9: there exists the finest preconvergence $I^\circ\theta$ that is coarser than $\theta$: $x \in \lim_{I^\circ\theta} \mathcal{F}$ iff there exists $\mathcal{E} \in \mathbb{F}X$ with $x \in \lim_\theta \mathcal{E}$ and $\mathcal{E} \leq \mathcal{F}$（isotone 化）。
• 性質: $\theta_0 \leq \theta_1 \implies I^\circ\theta_0 \leq I^\circ\theta_1$；$I^\circ\theta \leq \theta$；$I^\circ(I^\circ\theta) = I^\circ\theta$（単調・縮小・冪等）。
• 前収束 $\xi$ が収束 $\iff \xi \leq \iota_X$。よって Lemma III.7.10: $I\theta := I^\circ\theta \wedge \iota_X$ が $\theta$ より粗い最細の収束（centered 化）。
• $I^\circ$ を preconvergence modifier、$I$ を convergence modifier と呼ぶ。
• 例（Example III.7.11）: 「列の素朴な収束」$\eta$（$\mathcal{F}$ が列の尾フィルターそのものの場合のみ）に対し $I\eta = \sigma_\mathbb{R}$。