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Proposition III.1.6 (ウルトラフィルター修正の有限不安定性)

  • Proposition III.1.6 (ウルトラフィルター修正の有限不安定性) #Card
    • $M\xi$ の有限安定性について何が言えるか。

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Section titled “Back”

If $\xi$ is a convergence on a set $X$, then $M\xi$ is a non-finitely stable convergence if $\xi \neq M\xi$.

証明の骨子. $\xi \neq M\xi$ ゆえ、あるフィルター $\mathcal{F}$ と点 $x$ で $x \in \lim_\xi \mathcal{F}$ かつ $\mathcal{F}$ は非ウルトラフィルター（$U \notin \mathcal{F}$ かつ $X\setminus U \notin \mathcal{F}$ なる $U$ が存在）となるものが取れる。$\mathcal{F} \vee U^\uparrow$ と $\mathcal{F} \vee (X\setminus U)^\uparrow$ はともに proper なので、それぞれを細分するウルトラフィルター $\mathcal{U} \ni U$、$\mathcal{W} \ni X\setminus U$ を選べる（$\mathcal{U} \neq \mathcal{W}$）。両者は $\mathcal{F}$ を細分するので (isotone) より $x \in \lim_\xi \mathcal{U} \cap \lim_\xi \mathcal{W}$、しかもウルトラフィルターだから $x \in \lim_{M\xi}\mathcal{U} \cap \lim_{M\xi}\mathcal{W}$。ところが $\mathcal{U} \wedge \mathcal{W} = \mathcal{U} \cap \mathcal{W}$ はウルトラフィルターでない（$U \in \mathcal{U}\setminus\mathcal{W}$）ので $M\xi$ の定義から $\lim_{M\xi}(\mathcal{U} \wedge \mathcal{W}) = \emptyset$。よって $\lim_{M\xi}\mathcal{U} \cap \lim_{M\xi}\mathcal{W} \not\subset \lim_{M\xi}(\mathcal{U}\wedge\mathcal{W})$、すなわち $M\xi$ は有限安定でない。∎