Proposition III.3.5 (分離性は細かい方へ遺伝)
- Proposition III.3.5 (分離性は細かい方へ遺伝) #Card
- $\zeta \geq \xi$ のとき free / Hausdorff はどちら向きに遺伝するか。
Let $\zeta$ and $\xi$ be convergences on a given set with $\zeta \geq \xi$. If $\xi$ is free (alias $T_1$), then $\zeta$ is free. If $\xi$ is Hausdorff, then $\zeta$ is Hausdorff.
証明の骨子. $\zeta \geq \xi$ は各フィルターで $\lim_\zeta \mathcal{F} \subset \lim_\xi \mathcal{F}$ を意味する（cards/topology/order-on-convergences）——細かい方が「収束しにくく」極限集合が小さい。分離性はいずれも「極限集合が小さいこと」なので上向きに保たれる。
- free の遺伝: $\xi$ が自由なら $\lim_\zeta x^\uparrow \subset \lim_\xi x^\uparrow \subset {x}$（cards/topology/free-convergence-t1）。よって $\zeta$ も自由。
- Hausdorff の遺伝: $\xi$ が Hausdorff とする。${x_0, x_1} \subset \lim_\zeta \mathcal{F}$ なら ${x_0, x_1} \subset \lim_\xi \mathcal{F}$ ゆえ（cards/topology/hausdorff-convergence-t2）$x_0 = x_1$。よって $\zeta$ も Hausdorff。∎
逆向き（粗い方への遺伝）は成り立たない: 分離的な細かい収束の infimum は分離性を失いうる（cards/topology/lem-iii-3-9）。