Metric Convergence $t_d$ (距離による収束) (Formula III.6.4)
- Metric Convergence $t_d$ (距離による収束) (Formula III.6.4) #Card
- If $d$ is a metric on $X$, then $x \in \lim_{t_d} \mathcal{F} \iff \inf_{F \in \mathcal{F}} \sup_{y \in F} d(x, y) = 0$ defines a convergence $t_d$ on $X$.
If $d$ is a metric on a set $X$, then $$x \in \lim_{t_d} \mathcal{F} \iff \inf_{F \in \mathcal{F}} \sup_{y \in F} d(x, y) = 0$$ defines a convergence $t_d$ on $X$.
- 同値な言い換え: $x \in \lim_{t_d} \mathcal{F} \iff B_d(x, \varepsilon) \in \mathcal{F}$ for each $\varepsilon > 0$。
- $V_{t_d}(x) := {B_d(x, \varepsilon) : \varepsilon > 0}^\uparrow$ が $x$ に収束する最粗のフィルター——$t_d$ は（Hausdorff な）前位相。
- 列については: $x \in \lim_{t_d} (x_n)n \iff \forall \varepsilon > 0\ \exists n\varepsilon\ \forall n > n_\varepsilon,\ d(x_n, x) < \varepsilon$（古典的な距離空間の収束）。
Metric.tendsto_nhds / Metric.nhds_basis_ball