Discrete Convergence (離散収束) (Example III.1.1)

• Discrete Convergence (離散収束) (Example III.1.1) #Card
  • The convergence $\iota = \iota_X$ defined by: $x \in \lim_\iota \mathcal{F} \implies \mathcal{F} = x^\uparrow$. For each $x$, the only filter converging to $x$ is the principal ultrafilter of $x$.

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The convergence $\iota = \iota_X$ on a set $X$ defined by: $x \in \lim_\iota \mathcal{F} \implies \mathcal{F} = x^\uparrow$, that is, the only filter converging to $x$ is the principal ultrafilter of $x$.

• A convergence is discrete $\iff$ every point is isolated.
• $\iota_X$ is the finest convergence on $X$ (Proposition III.3.2), Hausdorff, and metrizable (by the discrete metric $i_X$, Example III.6.3).

Meaning

与えられた集合上の最も単純な収束の一つ。各点 $x$ について、$x$ に収束する filter は主 ultrafilter $x^\uparrow$ のみ——それ以外の filter はどの点にも収束しない。

$\iota$ は finitely stable かつ pretopology である。Example III.1.1 と III.1.2（混沌収束 $o$）が、収束の二極（最細と最粗）を示す対比の出発点となる。

出典: refs/math/topology/royal-road-to-topology/pdfs/chp3-2024-convergence-of-filters.pdf p.36

Lean

位相の場合は ⊥ : TopologicalSpace X（離散位相、𝓝 x = 𝓟 {x}）。Notes/ChapterIII.lean : discrete（isotone 証明の核心は「{y} ∈ p かつ p proper なら p = pure y」）