Uncountable Pavement of $\sigma_\mathbb{R}$ ($\sigma_\mathbb{R}$ の pavement は非可算) (Example III.2.5)
- Uncountable Pavement of $\sigma_\mathbb{R}$ ($\sigma_\mathbb{R}$ の pavement は非可算) (Example III.2.5) #Card
- Each pavement of the standard sequential convergence $\sigma_\mathbb{R}$ is uncountable at every point. 証明の対角線論法は？
Each pavement of $\sigma_\mathbb{R}$ is uncountable at every point.
対角線論法: ${\mathcal{E}_n : n < \omega}$ が $0$ での pavement だとすると、各 $\mathcal{E}_n$（列型フィルター）は可算集合 $E_n \in \mathcal{E}n$ を含む。$E := \bigcup{n<\omega} E_n$ は可算。一方 $]-2^{-n}, 2^{-n}[$ は非可算なので $x_n \in ,]-2^{-n}, 2^{-n}[, \setminus E$ が取れ、$(x_n)n$ は $E$ を外れて $0$ に $\sigma\mathbb{R}$-収束する。よってどの $\mathcal{E}_n$ よりも細かくならず、pavement でない。
（$\sigma_\mathbb{R}$ は有限安定だが前位相でないので、pavement は必ず無限——実は非可算。）