📐 Theorem X.10.12（Stone–Weierstraß の定理）／Corollary X.10.11・X.10.13
- 📐 Theorem X.10.12（Stone–Weierstraß の定理）／Corollary X.10.11・X.10.13 #Card
- Stone–Weierstraß の定理の主張と、平方根の一様近似（Lemma X.10.10）を経由した束構造への持ち上げの流れは。
下準備（Lemma X.10.10）: 平方根 $\sqrt{\cdot}$ は $[0,1]$ 上で漸化式 $p_{n+1}=p_n+\tfrac12(x-p_n^2)$（$p_0=0$）による多項式列の一様極限（cards/topology/dini-theorem Dini の定理を単調増加＋連続極限に適用）。
Cor X.10.11: コンパクト空間上、定数を含み一様収束で閉じた関数環 $R$ は $|f|,\max(f,g),\min(f,g)$ でも閉じる（$|g|=\sqrt{g^2}$ を Lemma X.10.10 で近似）— $R$ は束になる。
Thm X.10.12（Stone–Weierstraß）: $\tau$ が Hausdorff コンパクト、$R\subset C(\tau,\nu)$ が定数を含み点を分離し一様収束で閉じた環なら $R=C(\tau,\nu)$。
証明の骨子: 各 $\varepsilon,a,b$ に対し $f_{a,b}\in R$ で $f_{a,b}(a)=f(a),f_{a,b}(b)=f(b)$ を作り（点分離性使用）、$\min/\max$（Cor X.10.11）と有限被覆（コンパクト性）で $f$ を挟み込む2段階の構成。
Cor X.10.13（Weierstraß近似定理）: 有界閉区間上の連続関数は多項式の一様極限（多項式環は定数を含み点分離＝恒等関数、一様極限で閉じた環に拡張）。
ContinuousMap.stoneWeierstrass。
本ノート RoyalRoad.ChapterX.thm_X_10_12（ContinuousMap.subalgebra_topologicalClosure_eq_top_of_separatesPoints、Notes/ChapterX.lean、lake build 済み）